\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{cmap}
\usepackage[russian]{babel}
\oddsidemargin = 0pt
\topmargin = -35pt
\textwidth = 17cm
\textheight = 21cm
\parindent = 24pt
\usepackage{graphicx}
\usepackage[unicode=true, pdftex=true]{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}

\begin{document}
\textbf{\textit{Теоретический минимум по квантовой информатике}}\\
Список вопросов и ответов на них. Только здесь и только по физике :)

\section{Сформулировать постулаты квантовой механики}
\begin{enumerate}
\item Любой микрообъект полностью характеризуется заданием своей волновой функции $\psi(\vec{r}, t)$
\item $|\psi(\vec{r}, t)|^2$ есть плотность вероятности \underline{обнаружить} частицу в точке $\vec{r}$ в момент времени $t$, то есть $\psi(\vec{r}, t)$ --- волна вероятности
\item Каждой физической величине соответствует оператор, а его среднему значению соответствует среднее значение физической величины, получаемой в эксперименте
\end{enumerate}

\section{Сформулировать принцип неопределенности}
Невозможно измерить одновременно импульс частицы и ее координаты со сколь угодно большой точностью.

Есть соотношение Гейзенберга: $\triangle p \triangle x = 2 \pi \hslash$, из которого можно получить, что если мы знаем импульс: $\triangle p = 0$, то совершенно неизвестна координата: $\triangle x = \infty$, и наоборот. Такие дела...

\section{Сформулировать принцип суперпозиции}
Если микрообъект может находиться в состоянии с волновой функцией $\psi_1(x, t)$ и может находиться в состоянии с волновой функцией $\psi_2(x, t)$, то он может находиться в суперпозиционном состоянии с волновой функцией $\psi(x, t) = c_1 \psi_1(x, t) + c_2 \psi_2(x, t)$.

\section{Волновая функция задана в координатном представлении. Каков ее физический смысл?}
Волновая функция --- комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания состояний квантовомеханической системы. Физический смысл волновой функции заключается в том, что, согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния.

В координатном представлении волновая функция $\Psi(x_1, \dots, x_n, t)$ зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля $|\Psi(x_1, \dots, x_n, t)|^2$, который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров --- просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами $x_1, \dots, x_n$ в момент времени $t$.

\begin{flushright}
{\footnotesize \textit{По материалам Википедии}}
\end{flushright}

\section{Записать операторы координаты и импульса в координатном представлении. Какому правилу коммутации подчиняются эти операторы?}
Согласно третьему (или второму?) постулату квантовой механики, каждой физической величине соответствует оператор. Оператор действует на записанную после него волновую функцию.

Оператор координаты является простейшим оператором. Он заключается
в умножении волновой функции на соответсвующую координату: $\hat{X} \equiv x$, то есть $\hat{X}\psi = x\psi$. Среднее значение этого оператора есть математическое ожидание для координаты частицы: $$\langle \hat{X} \rangle _t = \int |\psi(x, t)|^2 x dx = \int \psi^*(x, t) x \psi(x, t) dx.$$

В одномерном случае оператор импульса $\hat{p} = -i \hslash \frac{\partial}{\partial x}$, а в жизни, в трехмерном случае $\hat{\vec{p}} = -i \hslash \nabla$, где $\nabla$ --- оператор Лапласа: $$\hat{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial}{\partial z}$$

Операторы обладают такими свойствами:
\begin{itemize}
\item они линейны
\item они эрмитовы, то есть $\int \psi_1^* \hat{A} \psi_2 d\vec{r} = \int (\hat{A} \psi_1)^* \psi_2 d\vec{r}$
\end{itemize}

Оператор координаты и оператор импульса не коммутируют!

\section{Как в координатном представлении построить оператор физической величины, задаваемой функцией $F(\vec{r}, \vec{p}, t)$, где $\vec{r}$ --- координата, а $\vec{p}$ --- импульс частицы?}

Для нахождения операторов остальных функций воспользуемся принципом, заключающемся в том, что отношения между операторами повторяют отношения между величинами в классической физике. А в классической физике любая физическая величина выражается через координаты, импульс и время: $$F(\vec{r}, \vec{p}, t) \Longrightarrow F(\vec{r}, \hat{\vec{p}}, t).$$

\section{Как, зная волновую функцию, вычислить среднее значение какой-либо физической величины?}
Для требуемой физической величины $A$ нужно написать оператор $\hat{A}$, тогда среднее значение $\langle A \rangle$ равно среднему значению оператора $\langle \hat{A} \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d\vec{r}$

\section{Как, зная волновую функцию, вычислить вероятность какого-либо результата измерения физической величины $A$?}
Какие значения может принимать физическая величина $A$? Нужно поставить задачу на собственные значения оператора $\hat{A}$, соответствующего этой величине. Решив её, получим спектр собственных значений $A_n$ и соответствующие собственные функции $\phi_n$. Набор этот полон, то есть любую волновую функцию можно разложить $$\psi(\vec{r}, t) = \sum_{n} c_n(t) \phi_n(\vec{r}).$$ Набор чисел $A_n$ дает набор возможных значений величины $A$, причем принимать она их будет с вероятностями $|c_n(t)|^2$.

\section{Сформулировать условие одновременной измеримости двух физических величин A и B. Какие пары из величин $x, y, p_x, p_y, L_x, L_y$ одновременно измеримы? ($L_x, L_y$ --- операторы проекции момента импульса)}
Совместные величины --- величины, которые можно одновременно измерить, или, что то же самое, у их операторов одинаковый набор собственных функций.

Доказывается, что если две величины совместны, то их операторы коммутируют, и наоборот.

Про совместность указанных величин ничего пока не нашел :(

\section{Какие значения могут принимать результаты измерения физической величины А?}
Какие значения может принимать физическая величина $A$? Нужно поставить задачу на собственные значения оператора $\hat{A}$, соответствующего этой величине. Решив её, получим спектр собственных значений $A_n$ и соответствующие собственные функции $\phi_n$. Набор этот полон, то есть любую волновую функцию можно разложить $$\psi(\vec{r}, t) = \sum_{n} c_n(t) \phi_n(\vec{r}).$$ Набор чисел $A_n$ дает набор возможных значений величины $A$, причем принимать она их будет с вероятностями $|c_n(t)|^2$.

\textbf{NB} Кажется, это где-то уже было...

\section{Дать определение стационарного состояния в квантовой механике. Записать стационарное и нестационарное уравнение Шредингера}
Система называется стационарной, если её гамильтониан $H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + U(\vec{r}, t)$ не зависит от времени. Соответственно, оператор Гамильтона, в общем случе, зависит от координат и времени $\hat{H} = \hat{H}(\vec{r}, t)$, а для стационарной системы только от координат $\hat{H} = \hat{H}(\vec{r})$.

\"Великое\" уравнение Шредингера: $$i \hslash \frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H} \psi,$$ где $\hat{H} = - \frac{\hslash^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$.

Если система стационарна, то $\psi(\vec{r}, t) = f(t) \phi(\vec{r})$, и уравнение Шредингера приобретает вид $$\hat{H} \phi = E \phi$$

\section{Приведите примеры движений частицы с непрерывным, дискретным и зонным энергетическим спектром. Каковы условия реализации того или иного типа спектра?}


\section{Перейдите от волновой к матричной формулировке квантовой механики}


\section{Запишите операторы спина, их собственные векторы и собственные значения}


\section{Что такое кубит?  В чем отличие кубита от классического бита?}
Кубит --- квантовая система с двумя базисными состояниями $|0\rangle$ и $|1\rangle$, которая может находиться в произвольном суперпозиционном состоянии $|\psi\rangle = a |0\rangle + b |1\rangle$, причем $|a|^2~+~|b|^2~=~1$. В этом и есть главное отличие кубита от \textit{клабита}\footnote{ классического бита}: бит может принимать два значения, а кубит --- находиться во многих состояниях. Поэтому в регистре, состоящем из $n$ кубитов, можно одновременно записать $2^n$ чисел, в то время как в классическом --- только одно.

\section{Как отобразить произвольное состояние кубита на блоховской сфере? Что такое операторы поворота вектора Блоха?}
Любое состояние $|\psi\rangle$ можно отобразить на единичной сфере Блоха. Итак, имеем $|\psi\rangle = a |0\rangle + b |1\rangle$. Возьмем и посчитаем чиселки $\lambda_z = a^*a - b^*b, \lambda_x = b^*a + a^*b, i(a^*b - b^*a)$. Видно, что $\lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_z^2 = 1$. Значит, можно задать два угла $\theta$ и $\phi$. Тогда $|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2} |0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2} |1\rangle$.

Чтобы вращать наши векторы есть операторы вращений:
\begin{itemize}
\item $R_x(\theta) = \cos\frac{\theta}{2} \hat{I} - i \sin\frac{\theta}{2} \hat{x}$
\item $R_x(\theta) = \cos\frac{\theta}{2} \hat{I} - i \sin\frac{\theta}{2} \hat{y}$
\item $R_x(\theta) = \cos\frac{\theta}{2} \hat{I} - i \sin\frac{\theta}{2} \hat{z}$
\end{itemize}

Причем, $$\hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hat{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hat{y} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \hat{z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

\section{Как экспериментально осуществляются повороты вектора Блоха?}


\section{Сформулируйте постулат измерения в квантовой механике. Рассмотрите пример измерения кубита}
Есть два замечательных, ни откуда не следующих постулата измерений:
\begin{enumerate}
\item после измерения кубита мы получаем $|0\rangle$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ и $|1\rangle$ с вероятностью $\frac{1}{2}$!
\item после измерения кубит остается в состоянии $|0\rangle$ или $|1\rangle$ до следующего измерения
\end{enumerate}

Пример --- после :(

\section{В чем разница между чистым и смешанным состояниями кубита? Что такое матрица плотности кубита?}
В идеале состояние системы определяется вектором $|\psi\rangle = a |0\rangle + b |0\rangle$. Это чистое состояние. Но в действительности, коэффициенты $a, b$ случайны, так как зависят от уймы внешних факторов --- за ними не усмотреть. Получаем смешанную систему, которая находится в разных состояниях с какими-то вероятностями.
Для описания смешанных состояний кубита используют матрицу плотности. Из уравнения Шредингера что-то, как-то выводится... и получаем матрицу плотности $$\begin{pmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix}, \rho_{00} = a^*a, \rho_{01} = b^*a, \rho_{10} = a^*b, \rho_{11} = b^*b.$$

\section{Что такое декогеренция кубита? На каких характерных временах она происходит?}
Из-за влияния посторонних факторов колебания спина кубита(?) затухают. Возникает декогеренция кубита --- нарушается когерентность системы :( Характерное время $T_2 \sim 10^{-10}$.

Кстати, это значит, что вычисления нужно проводить за время $t_{comp} < T_2$.

\textbf{NB} Блоховская сфера тоже деградирует и из сферы превращается в отрезок. Так-то...

\section{Что такое квантовая схема и квантовые вычисления? Приведите примеры квантовых вентилей и квантовых схем}
Квантовые вычисления проводятся на квантовых компьютерах, которые работают по квантовым схемам. Как-то так. \"Работают по\" или \"работают на\" --- тот еще вопрос. Схема реализует какой-то квантовый алгоритм. Показано, что для реализации любого алгоритма достаточно иметь все однокубитовые операторы и один двухкубитовый $CNOT$.

\begin{enumerate}
\item Оператор $\hat{X}$, отрицание, фактически. $\hat{X} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ или $\hat{X} = |0\rangle \langle 1| + |1\rangle \langle 0|$
\item Оператор $\hat{Z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ или $\hat{X} = |0\rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|$
\item Оператор Адамара $\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ или $\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} ((|0\rangle + |1\rangle) \langle 0| + (|0\rangle + |1\rangle) \langle 1|)$
\item Оператор $CNOT$, контролируемое $HE$.\\\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{CNOT}\end{center}
\end{enumerate}

Пример схемы --- алгоритм Дойча(?!).

\section{Какие операторы нужны для реализации любого алгоритма на квантовом компьютере? Приведите примеры однокубитовых и двухкубитовых операторов}
Черт возьми! Простите, дамы! Только что спрашивали!

\section{Что такое перепутанные состояния кубитов? Приведите квантовую схему, генерирующую ЭПР-пары (базис Бэлла)}
Перепутанные состояния кубитов. Явление!.. Суть его в том, что есть два кубита\footnote{ ЭПР-пара?} $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$, а мы их разделяем в пространстве, а потом, измеряя состояние первого, с вероятностью $1$ знаем состояние второго.

Приведенная ниже схема генерирует состояние Бэлла $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$:\\
\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{BELL}\end{center}

\section{Почему возможна передача информации по квантовому каналу без риска ее неконтролируемого перехвата?}
Почему, почему?! Потому что если мы возьмем и что-нибудь перехватим, то, значит, мы что-нибудь измерим. А как только мы что-нибудь\footnote{ обязательно квантовое} измерили --- все испортилось, и абоненты все заметят :-Р

\section{Как передать два бита классической информации путем передачи одного кубита? Нарисуйте квантовую схему, с помощью которой эта передача осуществляется}
Нужно: передать $00, 01, 10$ либо $11$ по квантовому каналу. Генерируется сначала $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$, первый кубит отдается Алисе, второй --- Бобу\footnote{ да-да-да, так издревле повелось, что Алиса и Боб передают сообщения друг другу... Ну, вы были на лекциях?}. Алиса преобразовывет свой кубит посылает его Бобу, который декодирует сообщение с помощью $CNOT$, потом берет оператор Адамара, и все получается!

Как Алиса преобразовывает свой кубит? А вот так\footnote{ <<а вот так>> --- одна из любимых фразочек С.И.~Гурова :)}! $$\hat{I}: |\phi_0\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$ $$\hat{X}: |\phi_1\rangle = \frac{|10\rangle + |01\rangle}{\sqrt{2}}$$ $$\hat{Z}: |\phi_2\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}}$$ $$\hat{Z}\hat{X}: |\phi_0\rangle = \frac{|10\rangle - |01\rangle}{\sqrt{2}}$$.

Схема, вот она:
\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{ALICE2BOB}\end{center}

\section{Что такое квантовый параллелизм? В чем его отличие от классического параллелизма? Приведите квантовую схему, реализующую квантовое параллельное вычисление}
Квантовый параллелизм --- фундаментальное свойство квантовых вычислений. Оно позволяет квантовым компьютерам вычислять функцию $f(x)$ для различных $x$ одновременно.

\section{Что такое квантовый компьютер? Как записать $2^n$ различных $n$-разрядных целых чисел от $0$ до $2^n - 1$ в регистре данных квантового компьютера, состоящем из $n$ кубитов?}


\section{Что такое задача Дойча (для $2^n$ чисел)? Приведите схему двухкубитового квантового компьютера, на котором решается задача Дойча при $n=1$ и опишите алгоритм решения}
Задача Дойча: является ли булевская функция $f(x)$, $0 \geq x \geq 2^n - 1$, постоянной или сбалансированной (то есть на половине наборов $x$ функция $f(x) = 0$, а на другой --- $f(x) = 1$).

Квантовый компьютер, как и просили:
\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{DEUTSCH}\end{center}
Работает так. $|\psi_0\rangle = |01\rangle$. После прохождения операторов Адамара получается \textit{хитрая} комбинация $|\psi_1\rangle = \frac{|10\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \otimes \frac{|10\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$. Потом, если аккуратно расписать, получим, что\\
либо $|\psi_3\rangle = |0\rangle \otimes \frac{|10\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$, и $\Rightarrow f = const$,\\ либо $|\psi_3\rangle = |1\rangle \otimes \frac{|10\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$, и $\Rightarrow f \text{ --- сбалансирована}$.

\section{Приведите схему $n$-кубитового квантового компьютера, на котором решается задача Дойча при произвольном n и опишите алгоритм решения. Каково по порядку число операций, требуемых для решения этой задачи Дойча на квантовом компьютере? Сравнить со случаем классического компьютера}
Почти все то же самое. Схема почти ничем не отличается:
\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{DEUTSCHn}\end{center}

Как работает --- лучше пока не спрашивать...

В классике нужно $2^{n-1} + 1$ раз вычислить функцию, в квантовом --- всего $n$. Вот такой экспоненциальный выигрыш.

\section{Как получаются экспоненциально большие выигрыши в памяти и числе операций в квантовом компьютере? Как решается проблема измерения выходного состояния в квантовых алгоритмах (на примере алгоритма Дойча)?}

\vspace{100pt}
\begin{center}\ttfamily{\textit{Смиренный игумен Пафнутий руку приложил}}\end{center}

\end{document}