Программа курса

Курс: Оптимальное управление.

Для студентов 3 курса (2-й поток, группа 313)
Лекции в 5 семестре --- 2 ч./нед., всего 36 часов, зачёт.
Лекции в 6 семестре --- 2 ч./нед., всего 32 часа, зачёт.
Семинарские занятия (2 ч./нед.), практикум на ЭВМ.
За курс отвечает кафедра Оптимального управления
Авторы программы: доц. Киселев Ю.Н..
Лекторы: доц. Киселев Ю.Н. (2000/01), доц. Киселев Ю.Н. (2001/02)

Программа курса,
5-й семестр:

1. Введение. Постановка математических задач оптимального управления. Фазовое пространство. Динамика управляемого движения в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. Класс допустимых управлений, область управления; краевые условия; критерий качества управления. Интегральный функционал, задача быстродействия. Основные вопросы теории оптимального управления; роль численных методов при построении оптимальных решений. Простейшие примеры: тележка и маятник. Примеры постановок задач управления из механики, экономики, биологии и других прикладных областей знания.
2. Принцип максимума Понтрягина для нелинейных управляемых систем. Формулировка теоремы о необходимых условиях оптимальности для интегрального функционала и задачи быстродействия в классе кусочно-непрерывных управлений. Комментарии к теореме. Краевая задача принципа максимума. Задачи Лагранжа, Майера и Больца, связь между ними.
3. Примеры применения принципа максимума Понтрягина для поиска оптимальных решений.
4. Задача быстродействия для тележки. Релейное свойство оптимального управления. Программа и синтез.
1. Задача быстродействия для математического маятника. Релейное свойство оптимального управления. Программа и синтез.
2. Задача о нагревании чайника до заданной температуры с минимальным расходом топлива (газа). Задача Дусе.
3. Линейно-квадратичная задача оптимального управления без геометрических ограничений на управление. Краевая задача принципа максимума, сведение ее к задаче Коши (непрерывная версия прогонки), матричное дифференциальное уравнение Риккати. Обоснование оптимальности построенного решения.
4. Линейно-квадратичная задача оптимального управления на бесконечном промежутке времени. Аналитическое конструирование регуляторов по Летову. Матричное алгебраическое уравнение Риккати.
5. Минимизация функционала типа «энергия» на траекториях линейных управляемых систем а) без геометрических ограничений на управление, б) с ограниченным скалярным управлением. Функция насыщения (sat) в экстремальном законе управления. Экстремальное описание неизвестного начального значения сопряженной переменной.
6. Задача минимизации функционала типа «расход топлива» на траекториях линейных управляяемых систем со скалярным ограниченным управлением. Функция нечувствительности («мертвой зоны») (dez) в экстремальном законе управления.
7. Задача быстродействия для систем с инвариантной нормой. Частный случай: задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Точные решения, оценки для оптимального времени.
8. Задача оптимального управления с особыми режимами (с микробиологической или экономической интерпретацией).
9. Линейная задача оптимального управления со скалярным ограниченным управлением. Сигнатура в экстремальном законе управления. Краевая задача принципа максимума. Метод потенциалов для нахождения оптимального времени и начального значения сопряженной переменной. Формулировка алгоритма решения линейной задачи быстродействия на основе метода потенциалов. Графические пакеты ТАЙМЕР, ТАХИОН, ПОНТРЯГИН, АЛЬФА для решения линейной задачи быстродействия. Конечность числа точек переключения в релейном законе управления. Формулировка теоремы о числе точек переключения в случае матрицы с действительным спектром.
10. Задача о подъеме ракеты на максимальную высоту.
11. Задача о брахистохроне с позиций оптимального управления.
12. Модельный пример Фуллера: эффект бесконечного числа точек переключения на конечном отрезке времени. Обсуждение вопроса о практической нереализуемости теоретического закона оптимального управления; приближение оптимального закона управлением с конечным числом точек переключения.
13. Аэродинамическая задача Ньютона.
5. Элементы выпуклого анализа. Линейная теория быстродействия. Выпуклые множества. Леммы об отделимости. Опорные функции, их свойства. Теорема о градиенте опорной функции и ее применение в линейной задаче быстродействия со строго выпуклой областью управления. Дистанционная функция выпуклого тела. Экспоненциал матрицы. Формула Коши для линейных уравнений. Принцип максимума Понтрягина для линейной задачи быстродействия, условия трансверсальности. Множества достижимости и управляемости, их выпуклость, другие свойства. Геометрический смысл сопряженной переменной в динамике множества достижимости и управляемости. Локальная управляемость. Достаточные условия оптимальности. Теорема существования оптимального управления в линейной задаче быстродействия.
6. Невыпуклость множества достижимости как типичное свойство нелинейных управляемых систем. Примеры.
7. Численный метод решения линейной задачи быстродействия с гладкой областью управления. Метод проектирования на на изохрону. Сведение краевой задачи принципа максимума Понтрягина к задаче Коши.
8. Схема продолжения по параметру и ее применение к системам конечных уравнений и краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенности применения схемы продолжения к краевым задачам принципа максимума с разрывными правыми частями.

6-й семестр:

1. Формулировка теоремы о необходимых условиях оптимальности в форме принципа максимума для нелинейных управляемых систем. Эквивалентная формулировка задачи управления в расширенном фазовом пространстве. Схема доказательства принципа максимума Понтрягина на основе вариаций Макшейна.
2. Дифференциальные уравнения в вариациях. Главный член приращения решения. Оценка остаточного члена.
3. Представление решения дифференциального уравнения в вариациях и сопряженного уравнения в терминах фундаментальных матриц.
4. Вычисление главной части приращения траектории управляемой системы, вызываемого простейшей вариацией Макшейна.
5. Теорема об опорной гиперплоскости. Конус в Rn. Теорема об отделимости конуса и луча.
6. Симплекс, барицентрические координаты, утверждение о малых деформациях симплекса как следствие теоремы Брауэра о неподвижной точке; доказательство теоремы Брауэра.
7. Вариации Макшейна (ПОВМ, ОВМ, МВМ --- простейшие одночленные, одночленные, многочленные). Главный член приращения траектории. Отображение Ф(М) и порождаемый им конус К.
8. Сложение вариаций Макшейна, умножение вариаций Макшейна на неотрицательные числа. Линейность отображения Ф(М) при неотрицательных коэффициентах. Выпуклость конуса, порождаемого отображением Ф(М).
9. Расширение класса допустимых вариаций, построение выпуклого конуса С.
10. Основная лемма. Следствие из основной леммы.
11. Вывод условия максимума.
12. Обоснование дополнения к основной теореме (об обращении в нуль функции Гамильтона-Понтрягина на оптимальной тройке).
13. Обоснование дополнения к основной теореме (об обращении в нуль функции Гамильтона-Понтрягина на оптимальной тройке).
14. Задачи Лагранжа, Майера и Больца. Запись необходимых условий оптимальности. Связь между сопряженными переменными.

Литература
(обязательная):

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1961. 1976, 1983.
2. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М., Наука, 1990.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961. 1965.
4. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М., 1968.
5. Киселёв Ю.Н. Оптимальное управление. М., Изд-во Моск. Ун-та. 1988.
6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1969.
7. Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления. М., Изд-во Моск. Ун-та. 1978.
8. Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.
9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.

(дополнительная):

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. 1968.
2. Киселёв Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. Изд-во Моск. Ун-та. 1986.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М. 1975.
4. Летов А.М. Динамика полета и управление. М. 1968.
5. Данскин Л. Максимин. М. Изд-во Иностранная Литература, 1970.
6. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Линейно-квадратичная задача оптимального управления. Методическая разработка. МГУ. 1991.
7. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Задачи оптимального управления с особыми режимами для одной модели из микробиологии. – Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1998, N 3, с. 23 – 26.
8. H. van den Berg, Yu.N. Kiselev, S.A.L.M. Kooijman, M.V. Orlov. Optimal Allocation Between Nutrient Uptake and Growth in a Microbial Trichome. J. Math. Biol., 37, 1998, p. 28 - 48.
9. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решение задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина. Труды Математического института им, В.А. Стеклова, т. 216. 1995, стр. 3-31.

Аннотация

В курсе излагаются основы теории оптимального управления в линейных и нелинейных системах и ее центральный результат --- принцип максимума Понтрягина. Курс содержит ряд примеров применения принципа максимума для построения оптимальных решений, некоторые примеры излагаются в 6-м семестре. В курс включены некоторые численные методы решения задач управления. Элементы выпуклого анализа, аппарат опорных и дистанционных функций рассматривается как составная часть курса, важная для вычислительных приложений.