\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\begin{document}

\begin{flushleft}
Задача.

Доказать, что существует процесс броуновского движения с T=[a,b]

Решение.

Пусть $X_{t}$ - процесс броуновского движения на [0,1]

Пусть $Y_{t}$=$\sqrt{b-a}X_{\frac{t-a}{b-a}}$

Очевидно, $Y_{t}$ - вещественный случайный процесс

1) $Y_{a}=X_{0}=0$ п.н.

2)Выберем произвольные \{$t_{i}$\} такие, что a$\leq t_{1} < t_{2}
<...<t_{n}\leq b $

Пусть $s_{i}=\frac{t_{i}-a}{b-a}$, тогда $s_{i}\in [0,1] \forall
i$

$Y_{t_{i+1}}-Y_{t_{i}}$=$\sqrt{b-a}(X_{s_{i+1}}-X_{s_{i}})$, а
$X_{s_{i+1}}-X_{s_{i}}$ - независимы, поэтому независимы и
$Y_{t_{i+1}}-Y_{t_{i}}$

3)$Y_{t+s}-Y_{t}$=$\sqrt{b-a}(X_{\frac{t+s-a}{b-a}}-X_{\frac{t-a}{b-a}})$,
так как функция распределения
$X_{\frac{t+s-a}{b-a}}-X_{\frac{t-a}{b-a}}$ - это
N(0,$\frac{s}{b-a}$), то функция распределения $Y_{t+s}-Y_{t}$ -
это N(0,s)


\end{flushleft}

\end{document}
