\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,delarray,amsthm,babel}
\begin{document}

\begin{flushleft}
Задача.

Доказать, что $$X_{t}=\sum_{n=0}^NI_{[a,t]}[X_{n}], t\in[a,b]$$

Решение.

$$I_{[a,t]}[X_{n}]=\begin{cases}
1, &\text{$X_{n}\not\in[a,t]$}\\
0, &\text{иначе}
\end{cases}$$

$$\{I_{[a,t]}[X_{n}] \leq t \}=\begin{cases}
\emptyset, &\text{$t<0$}\\
\{X_{n}\not\in[a,t]\}, &\text{$t\in[0,1)$} \\
\Omega, &\text{$t\geq1$}
\end{cases}$$

Для t<0 и $t\geq1$ - это, очевидно, событие. Для $t\in[0,1)$ -
событие, т.к. $X_{n}$ - случайная величина, [a,t] - борелевское
множество. Поэтому $I_{[a,t]}[X_{n}]$ - случайная величина.

Сумма конечного  числа случайных величин - тоже случайная величина
$\Rightarrow X_{t}$ - случайная величина




\end{flushleft}

\end{document}
