\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,delarray,amsthm,babel}
\begin{document}

\begin{flushleft}
Задача.

Доказать, что $f\in L_{2}(0,1) \Rightarrow f\in L_{1}(0,1)$

Решение.

$f\in L_{2}(0,1) \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}|f(x)|^{2}dx -
конечен \Rightarrow f $ - измерима

Пусть $$g=\begin{cases}
|f(x)|^{2}, &\text{если $\{|f(x)|\geq1\} \bigcap [0,1] $}\\
1, &\text{если $\{|f(x)|<1\} \bigcap [0,1] $ }
\end{cases}$$

Т.к. f - измерима, то $\{|f(x)|\geq1\}$ и $\{|f(x)|<1\}$ -
измеримые множества, и 1, $|f(x)|^{2}$ - интегрируемые на этих
множествах функции.

Поэтому g - интегрируема на [0,1].

Получим, что $|f(x)|<g$  на [0,1], f - измерима, g - интергируема
на [0,1] $\Rightarrow |f(x)|$ - интергируема на [0,1] $\Rightarrow
f\in L_{1}(0,1)$





\end{flushleft}

\end{document}
