\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,delarray,amsthm,babel}
\begin{document}

\begin{flushleft}
Задача.

Доказать, что, если $\tau$ и $\sigma$ - марковский момент
относительно $\digamma$, то

1) $\tau\wedge\sigma$ и  $\tau\vee\sigma$ - марковские моменты
относительно $\digamma$

2) $\tau+\sigma$  - марковский момент относительно $\digamma$
($T\subseteq R_{+}$)

3) $\tau+h$  - марковский момент, h=const$\geq 0$

Решение.

1) Очевидно, что $\tau\wedge\sigma$ и  $\tau\vee\sigma$ -
случайные величины.

$\{\tau\wedge\sigma \leq t\} =\{\tau \leq t\} \cup \{\sigma \leq
t\}$

Оба события в правой части принадлежат $F_{t}$, поэтому их
объединение также принадлежит $F_{t} \Rightarrow $ - марковский
момент

Аналогично

$\{\tau\vee\sigma \leq t\} =\{\tau \leq t\} \cap \{\sigma \leq
t\}$

поэтому $\tau\vee\sigma$ - марковский момент

2) Очевидно, $\tau+\sigma$ - случайная величина.

$\{(\tau+\sigma) \leq t\} =\{\tau \leq t - \sigma\} =
\bigcup_{r_{i}\in Q \cap [0,t] } \{\tau \leq r_{i}\}\cap
\{\tau-\sigma \geq r_{i}\}$

Под знаком объединения стоят события принадлежащие $F_{t}$,

$ \{\tau \leq r_{i}\}=\{\sigma\leq\tau-r_{i}\}\in
F_{t-r_{i}}\subseteq F_{t} \Rightarrow $ счетное объединение таких
событий приадлежит $F_{t}$

$\Rightarrow \tau+\sigma$ - марковский момент

3). $\tau+h$ - очевидно случайная величина

$\{\tau+h \leq t\}=\{\tau\leq t-h\}\in F_{t-h}\subseteq F_{t}
\Rightarrow \tau+h$ - марковский момент.












\end{flushleft}

\end{document}
