Задачи по курсу Случаные процессы Выполнил студент 419 группы Третьяков Леонид

Задача

Доказать равенство:

∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} = ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{r=k+1}^{n} u_{r}[x_{t_{k+1}} − x_{t_{k}}]

Решение:

Перенесём правую часть влево и докажем равенство

∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{r=k+1}^{n} u_{r}[x_{t_{k+1}} − x_{t_{k}}] = 0

∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{r=k+1}^{n} u_{r}[x_{t_{k+1}} − x_{t_{k}}] = = ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − ∑_{k=0}^{n−1}(u_{k+1} + ... + u_{n})[x_{t_{k+1}} − x_{t_{k}}] = = ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − ((u_{1} + ... + u_{n})[x_{t_{1}} − x_{t_{0}}]+ + (u_{2} + ... + u_{n})[x_{t_{2}} − x_{t_{1}}] + ... + (u_{n−1} + u_{n})[x_{t_{n−1}} − x_{t_{n−2}}] + u_{n}[x_{t_{n}} − x_{t_{n−1}}]) = = ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − (−x_{t_{0}}(u_{1} + ... + u_{n}) + x_{t_{1}}(u_{1} + ... + u_{n})− − x_{t_{1}}(u_{2} + ... + u_{n}) + x_{t_{2}}(u_{2} + ... + u_{n}) − ... − x_{t_{n−2}}(u_{n−1} + u_{n})+ + x_{t_{n−1}}(u_{n−1} + u_{n}) − x_{t_{n−1}}u_{n} + x_{t_{n}}u_{n}) = = ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − (−x_{t_{0}}(u_{1} + ... + u_{n}) + x_{t_{1}}u_{1} + ... + x_{t_{n}}u_{n}) = = ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} − ∑_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} + x_{t_{0}}(u_{1} + ... + u_{n}) = = x_{t_{0}}(u_{1} + ... + u_{n}) = 0

так как x_{t_{0}} = 0 Задача Доказать: Если τ и σ - марковские моменты относительно фильтрации 𝔽, то

1) τ ∧ σ = min(τ, σ) - марковский момент относительно 𝔽

2) τ ∨ σ = max(τ, σ) - марковский момент относительно 𝔽

3) τ + σ - марковский момент относительно 𝔽 (𝔽 = {F_{t}, t ∈ [0; ∞)})

4) τ + h - марковский момент, где h=const≥ 0 Решение:

1) Очевидно, что τ ∧ σ - случайная величина. {τ ∧ σ ≤ t} = {τ ≤ t} ∪ {σ ≤ t} Оба события в правой части принадлежат F_{t}, поэтому их объединение

также принадлежит F_{t} ⇒ τ ∧ σ - марковский момент 2) Очевидно, что τ ∨ σ - случайная величина. {τ ∨ σ ≤ t} = {τ ≤ t} ∩ {σ ≤ t} Оба события в правой части принадлежат F_{t}, поэтому их пересечение

также принадлежит F_{t} ⇒ - марковский момент поэтому τ∨σ - марковский момент

3) Очевидно, что τ + σ - случайная величина. {(τ + σ) ≤ t} = {τ ≤ t − σ} = ⋃_{r_{i}∈ℚ∩[0,t]}{τ ≤ r_{i}} ∩ {τ − σ ≥ r_{i}} Под знаком объединения стоят события принадлежащие F_{t}, {τ ≤ r_{i}} = {σ ≤ τ − r_{i}} ∈ F_{t−r_{i}} ⊆ F_{t} ⇒ счетное объединение таких

событий приадлежит F_{t} ⇒ τ + σ - марковский момент

4) Очевидно, что τ + h - случайная величина {τ + h ≤ t} = {τ ≤ t − h} ∈ F_{t−h} ⊆ F_{t} ⇒ τ + h - марковский момент.

Задача Доказать:

f ∈ L_{2}(0, 1) ⇒ f ∈ L_{1}(0, 1)