\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,delarray,amsthm,babel}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Задачи по курсу}

\textbf{Случаные процессы}

Выполнил студент 419 группы Третьяков Леонид
\end{center}


\textbf{Задача}

\textit{Доказать равенство:}

$$
\sum_{k=1}^{n} u_{k}x_{t_{k}} = \sum^{n-1}_{k=0}\sum^{n}_{r=k+1}
u_{r}[x_{t_{k+1}}-x_{t_{k}}]
$$

\textit{Решение:}

Перенесём правую часть влево и докажем равенство

$$
\sum^{n}_{k=1} u_{k}x_{t_{k}} - \sum^{n-1}_{k=0}\sum^{n}_{r=k+1}
u_{r}[x_{t_{k+1}}-x_{t_{k}}] = 0
$$

$$
\begin{array}{l}
\sum^{n}_{k=1} u_{k}x_{t_{k}} - \sum^{n-1}_{k=0}\sum^{n}_{r=k+1}
u_{r}[x_{t_{k+1}}-x_{t_{k}}] =\\= \sum^{n}_{k=1} u_{k}x_{t_{k}} -
\sum^{n-1}_{k=0}(u_{k+1}+...+u_{n})[x_{t_{k+1}}-x_{t_{k}}] =\\=
\sum^{n}_{k=1} u_{k}x_{t_{k}} -
((u_{1}+...+u_{n})[x_{t_{1}}-x_{t_{0}}] +\\{}+
(u_{2}+...+u_{n})[x_{t_{2}}-x_{t_{1}}] + ... +
(u_{n-1}+u_{n})[x_{t_{n-1}}-x_{t_{n-2}}] +
u_{n}[x_{t_{n}}-x_{t_{n-1}}]) =\\= \sum^{n}_{k=1} u_{k}x_{t_{k}} -
(-x_{t_{0}}(u_{1}+...+u_{n})+x_{t_{1}}(u_{1}+...+u_{n})-\\{}-
x_{t_{1}}(u_{2}+...+u_{n})+x_{t_{2}}(u_{2}+...+u_{n})-...-
x_{t_{n-2}}(u_{n-1}+u_{n})+\\{}+x_{t_{n-1}}(u_{n-1}+u_{n})
-x_{t_{n-1}}u_{n}+x_{t_{n}}u_{n})=\\=
\sum^{n}_{k=1}u_{k}x_{t_{k}}-(-x_{t_{0}}(u_{1}+...+u_{n})+x_{t_{1}}u_{1}+...+x_{t_{n}}u_{n})=\\=
\sum^{n}_{k=1}u_{k}x_{t_{k}}-\sum^{n}_{k=1}u_{k}x_{t_{k}}+x_{t_{0}}(u_{1}+...+u_{n})=\\=
x_{t_{0}}(u_{1}+...+u_{n})=0
\end{array}
$$
так как $x_{t_{0}}=0$


\newpage


\textbf{Задача}

\textit{Доказать:}

Если $\tau$ и $\sigma$ - марковские моменты относительно
фильтрации $\mathbb{F}$, то


1) $\tau\wedge\sigma = min(\tau,\sigma)$   - марковский момент
относительно $\mathbb{F}$

2) $\tau\vee\sigma = max(\tau,\sigma)$ - марковский момент
относительно $\mathbb{F}$

3) $\tau+\sigma$  - марковский момент относительно $\mathbb{F}$
($\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_{t},t\in[0;\infty)\}$)

4) $\tau+h$  - марковский момент, где h=const$\geq 0$

\textit{Решение:}

1) Очевидно, что $\tau\wedge\sigma$ - случайная величина.

$\{\tau\wedge\sigma \leq t\} =\{\tau \leq t\} \cup \{\sigma \leq
t\}$

Оба события в правой части принадлежат $\mathcal{F}_{t}$, поэтому
их объединение также принадлежит $\mathcal{F}_{t} \Rightarrow $
$\tau\wedge\sigma$ - марковский момент

2) Очевидно, что   $\tau\vee\sigma$ - случайная величина.

$\{\tau\vee\sigma \leq t\} =\{\tau \leq t\} \cap \{\sigma \leq
t\}$

Оба события в правой части принадлежат $\mathcal{F}_{t}$, поэтому
их пересечение также принадлежит $\mathcal{F}_{t} \Rightarrow $ -
марковский момент поэтому $\tau\vee\sigma$ - марковский момент

3) Очевидно, что $\tau+\sigma$ - случайная величина.

$\{(\tau+\sigma) \leq t\} =\{\tau \leq t - \sigma\} =
\bigcup_{r_{i}\in \mathbb{Q} \cap [0,t] } \{\tau \leq r_{i}\}\cap
\{\tau-\sigma \geq r_{i}\}$

Под знаком объединения стоят события принадлежащие
$\mathcal{F}_{t}$,

$ \{\tau \leq r_{i}\}=\{\sigma\leq\tau-r_{i}\}\in
\mathcal{F}_{t-r_{i}}\subseteq \mathcal{F}_{t} \Rightarrow $
счетное объединение таких событий приадлежит $\mathcal{F}_{t}$

$\Rightarrow \tau+\sigma$ - марковский момент

4) Очевидно, что $\tau+h$ - случайная величина

$\{\tau+h \leq t\}=\{\tau\leq t-h\}\in \mathcal{F}_{t-h}\subseteq
\mathcal{F}_{t} \Rightarrow \tau+h$ - марковский момент.


\newpage




\textbf{Задача}

\textit{Доказать:}
$$
f\in L_{2}(0,1) \Rightarrow f\in L_{1}(0,1)
$$




\end{document}
