Задача. Доказать, что существует процесс броуновского движения с T=[a,b] Решение. Пусть X_{t} - процесс броуновского движения на [0,1] Пусть Y_{t}=\sqrt{b − a}X_{\frac{t−a}{b−a}} Очевидно, Y_{t} - вещественный случайный процесс

1) Y_{a} = X_{0} = 0 п.н. 2)Выберем произвольные {t_{i}} такие, что a≤ t_{1} < t_{2} < ... < t_{n} ≤ b Пусть s_{i} = \frac{t_{i}−a}{b−a}, тогда s_{i} ∈ [0, 1]∀i Y_{t_{i+1}} − Y_{t_{i}}=\sqrt{b − a}(X_{s_{i+1}} − X_{s_{i}}), а X_{s_{i+1}} − X_{s_{i}} - независимы, поэтому независимы и Y_{t_{i+1}} − Y_{t_{i}} 3)Y_{t+s} − Y_{t}=\sqrt{b − a}(X_{\frac{t+s−a}{b−a}} − X_{\frac{t−a}{b−a}}), так как функция распределения X_{\frac{t+s−a}{b−a}} − X_{\frac{t−a}{b−a}} - это N(0,\frac{s}{b−a}), то функция распределения Y_{t+s} − Y_{t} - это N(0,s)