Задача. Доказать, что

X_{t} = ∑_{n=0}^{N} I_{[a,t]}[X_{n}], t ∈ [a, b]

Решение.

I_{[a,t]}[X_{n}] = \begin{cases}1, & X_{n} ∉ [a, t] \\ 0, & иначе \end{cases}

\{I_{[a,t]}[X_{n}] ≤ t\} = \begin{cases}∅, & t < 0 \\ \{X_{n} ∉ [a, t]\}, & t ∈ [0, 1) \\ Ω, & t ≥ 1 \end{cases}

Для t<0 и t ≥ 1 - это, очевидно, событие. Для t ∈ [0, 1) - событие, т.к. X_{n} - случайная величина, [a,t] - борелевское множество. Поэтому I_{[a,t]}[X_{n}] - случайная величина. Сумма конечного числа случайных величин - тоже случайная величина ⇒ X_{t} - случайная величина