Задача. Доказать, что f ∈ L_{2}(0, 1) ⇒ f ∈ L_{1}(0, 1) Решение.

f ∈ L_{2}(0, 1) ⇒ ∫_{0}^{1} |f(x)|^{2}dx − ⇒ f - измерима

Пусть

g = \begin{cases}|f(x)|^{2}, & если \{|f(x)| ≥ 1\} ⋂[0, 1] \\ 1, & если \{|f(x)| < 1\} ⋂[0, 1] \end{cases}

Т.к. f - измерима, то {|f(x)| ≥ 1} и {|f(x)| < 1} - измеримые множества, и 1, |f(x)|^{2} - интегрируемые на этих множествах функции. Поэтому g - интегрируема на [0,1]. Получим, что |f(x)| < g на [0,1], f - измерима, g - интергируема на [0,1] ⇒ |f(x)| - интергируема на [0,1] ⇒ f ∈ L_{1}(0, 1)