Вопросы к экзамену.

1.   Линейное пространство (ЛП). Определение, основные свойства и примеры. Ранг и база системы векторов.
2.   Линейная оболочка (Л)
3.   Изоморфизм ЛП.
4.   Сумма и произведение ЛП.
5.   Прямая сумма линейных подпространств.
6.   Линейные многообразия в ЛП.
7.   Фактор пространство.
8.   Евклидово (унитарное) пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
9.   Длина и угол. Неравенства треугольника в евклидовом и унитарном пространстве.
10.  Ортонормированный базис (ОНБ). Скалярное произведение в ОНБ.
11.  Существование ОНБ. Процесс ортогонализации.
12.  Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.
13.  Ортогональное дополнение. Разложение вектора на ортогональную проекцию и перпендикуляр.
14.  Линейные многообразия в е(у) пространстве.
15.  Расстояние в е(у) пространстве.
16.  Изоморфизм е(у) пространств.
17.  Линейные операторы (ЛО). Определение и основные свойства. Матрицы ЛО.
18.  Взаимно однозначное соответствие между ЛО и матрицами.
19.  Матрицы ЛО в различных базисах. Эквивалентность матриц. Критерий эквивалентности.
20.  Линейное пространство ЛО и его связь с пространством матриц.
21.  Линейные формы. Сопряженное пространство. Специальное представление линейной формы в е(у) пространстве.
22.  Произведение ЛО и его матрица.
23.  Образ и ядро ЛО.
24.  Обратный оператор. Критерий обратимости.
25.  Инвариантные п/п. Индуцированный оператор.
26.  Собственные значения и собственные векторы ЛО. Основные свойства.
27.  Характеристический многочлен ЛО.
28.  Условие существования собственных векторов ЛО. Собственные векторы ЛО в комплексном пространстве.
29.  Собственное п/п. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения.
30.  Операторы простой структуры.
31.  Треугольная форма матрицы ЛО в комплексном пространстве.
32.  Теорема о прямой сумме нильпотентного и обратимого операторов.
33.  Расщепление ЛО.
34.  Корневые п/п. Канонический базис корневого п/п.
35.  Жорданова нормальная форма матрицы ЛО в комплексном пр-ве.
36.  Теорема Гамильтона-Кэли.
37.  Подобные матрицы. Критерий подобия.
38.  Инвариантные п/п минимальной размерности.
39.  Сопряженный оператор. Существование и единственность сопряженного оператора.
40.  Матрицы взаимно сопряженных операторов в биортогональных базисах.
41.  Нормальный оператор.
42.  Ортогональный оператор.
43.  Каноническая форма ортогонального оператора.
44.  Самосопряженный оператор.
45.  Знакоопределенный опретатор. Корень из оператора.
46.  Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.
47.  Разложение ЛО.
48.  Билинейные формы в ЛП.
49.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Формулы Якоби.
50.  Закон инерции квадратичных форм. Сигнатурное правило. Закон Якоби.
51.  Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
52.  Полуторалинейные и эрмитовы формы.
53.  Квадратичные формы в е(у) пространствах. Приведение к главным осям.
54.  Одновременное приведение к главным осям пары квадратичных форм.
55.  Приведения уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.
56.  Классификация алгебраических поверхностей второго порядка в пространстве.
57.  Норма вектора. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.
58.  Норма ЛО.
59.  Матричные нормы ЛО.
60.  Экстремальное свойство собственных значений сопряженных операторов.
61.  Операторные уравнения. Условия разрешимости.
62.  Нормальное решение. Псевдорешение.