Слабая сходимость

Замечание 25. Необходимо заметить, что запись

удобна, но не всегда разумна: если «предельную» величину

заменить на другую величину

с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле

. Поэтому слабая сходимость всё же не есть сходимость случайных величин, и ею нельзя оперировать как сходимостями п.н. и по вероятности, для которых предельная случайная величина единственна (с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).

Поэтому в определении 53 часто говорят и пишут так: слабо сходится к распределению , т.е. , либо даже так: распределения слабо сходятся к распределению : .

Доказательство. Свойство (1) мы докажем чуть позже.

Докажем (2): слабая сходимость к постояннной влечёт сходимость по вероятности. Пусть

при любом , являющемся точкой непрерывности предельной функции , т.е. при всех .

Возьмём произвольное и докажем, что . Раскроем модуль:

поскольку в точках и функция непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательностей: к и к .

Осталось заметить, что не бывает больше 1, так что по свойству предела зажатой последовательности .

QED

Замечание 26. Желание написать «если

, то

» сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое «функция распределения суммы

», когда вместо них можно брать любые другие

с теми же распределениями, как угодно зависимые. Иное дело — когда одно из предельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммы или произведения определена (найти!) однозначно.

Доказательство. Нелюбознательный читатель может пропустить это доказательство, вернувшись к нему при втором прочтении.

Заметим вначале, что если , то и (доказать!). Поэтому достаточно доказать первое утверждение свойства 21 при , а второе утверждение — при .

Рассмотрим второе утверждение, оставив первое любознательному читателю. Пусть и . Докажем, что тогда .

Пусть — точка непрерывности функции распределения . Требуется доказать, что имеет место сходимость . Зафиксируем достаточно маленькое такое, что непрерывна в точках . Воспользуемся тем, что события и образуют полную группу:

Оценим сверху и снизу. Для имеем:

и последняя вероятность может быть выбором сделана сколь угодно малой. Для , с одной стороны,

Неравенство следует из очевидного соображения: если и , то, тем более, .

С другой стороны,

Здесь первое неравенство объясняется включением

которое получилось заменой в событии числа на меньшую величину . Второе неравенство следует из свойств:

Мы получили оценки снизу и сверху для , т.е. для :

или

Устремляя к бесконечности, и вспоминая, что — точки непрерывности функции распределения , получим

И поскольку эти неравенства верны для любого достаточно малого такого, что функция распределения непрерывна в точках (множество точек разрыва у любой функции распределения не более чем счётно, и таких можно найти сколько угодно в любой окрестности нуля), а — точка непрерывности функции , то, устремив к нулю, получим, что нижний и верхний пределы при совпадают и равны .

QED

Доказательство утверждения (1) из свойства 20. В качестве простого следствия из только что доказанного второго утверждения свойства 21 покажем, что сходимость

по вероятности влечёт слабую сходимость

Представим в виде суммы . Здесь последовательность по вероятности стремится к нулю, а «последовательность» слабо сходится к . Поэтому их сумма слабо сходится к .

QED

Доказательство. В формулировке теоремы мы, краткости ради, использовали запись

, которую следует понимать так:

Если , то утверждение теоремы сразу следует из свойства 21. Действительно, из следует, что . К тому же . Тогда утверждение (2) свойства 21 позволяет заключить, что . Функция распределения отличается от лишь сдвигом и тоже непрерывна всюду, поэтому имеет место сходимость функций распределения в любой точке. В частности, в точке = 0 имеет место сходимость при

Пусть теперь . Нужно доказать, что .

По определению, с ростом , если для всякого найдётся номер такой, что для всех выполнено неравенство: . В силу монотонности функций распределения, . В точке —, как и в любой иной точке, имеет место сходимость функций распределения . Выбором величина может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. Тем самым верхний предел последовательности оказывается зажат между нулём и сколь угодно малой величиной, т.е. равняется нулю.

Случай проверяется аналогично.

QED

§ 2. Слабая сходимость