Предельная теорема Муавра — Лапласа

Next: Примеры использования ЦПТ Up: Центральная предельная теорема Previous: Центральная предельная теорема

§ 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа

Получим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра⁽¹⁾ — Лапласа⁽²⁾. Подобно ЗБЧ Бернулли, теорема Муавра — Лапласа имеет дело со схемой Бернулли.

Теорема 38 (предельная теорема Муавра — Лапласа). Пусть событие

может произойти в любом из

независимых испытаний с одной и той же вероятностью

и пусть

— число осуществлений события

в

испытаниях. Тогда

т.е. для любых вещественных имеет место сходимость

Доказательство. Величина

есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха

:

, где

Осталось воспользоваться ЦПТ.

QED

¹Abraham de Moivre (26.05.1667 — 27.11.1754, France, England)

²Pierre-Simon Laplace (23.03.1749 — 5.03.1827, France)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.