Распределения случайных величин

Можно представлять себе распределение случайной величины

как соответствие между множествами

и вероятностями

Распределения случайных величин суть основные объекты изучения в теории вероятностей. Мы не будем, как правило, интересоваться тем, из какого множества действует функция и каким именно элементарным исходам сопоставляет свои возможные значения. Нас чаще будет интересовать то, на множестве какой вероятности эти значения принимаются. Приведём несколько примеров совершенно разных случайных величин, имеющих одно и то же распределение (одинаково распределённых).

Пример.

1. Один раз бросается правильная монета. Пространство состоит из двух элементарных исходов — герб и решка. В качестве -алгебры рассмотрим множество всех подмножеств . Вероятность зададим как в классической схеме. Зададим две случайные величины и так: положим

=1, если = герб, и =0, если = решка;

=0, если = герб, и =1, если = решка.

Очевидно, для любого множества вероятности принадлежать для и одинаковы. Тем не менее ни для одного элементарного исхода значения и не совпадают. Т.е. и одинаково распределены, но не одинаковы (как функции).

2. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. В этом случае есть отрезок [0, 1] с сигма-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега. Предлагаю читателю убедиться, что две совершенно разные функции: и (расстояния до упавшей точки от левого и от правого концов отрезка соответственно) обладают одинаковыми вероятностями принимать значения внутри любых борелевских множеств (вероятности, равные мере Лебега пересечения множеств и [0, 1]). Таким образом, эти случайные величины снова одинаково распределены, но не одинаковы: их значения совпадают лишь при одном элементарном исходе = 0.5 (нарисовать графики функций и ).

3. На том же самом отрезке [0, 1] построим две функции: =0 при всех ; =0 при всех , кроме = 0.5, а в точке = 0.5 положим = —17.

Поскольку мера Лебега точки (она же — вероятность) равна нулю, распределения величин и одинаковы. Теперь и снова не совпадают как функции, но отличаются их значения лишь на множестве нулевой вероятности (только в точке 0.5). В этом случае говорят, что и совпадают «почти наверное»: .

Опишем различные типы распределений случайных величин. Вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой, может быть «размазана» по некоторому интервалу или по всей прямой. В зависимости от типа множества, на котором сосредоточена вся единичная вероятностная масса, распределения делят на дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные и их смеси.

Итак, случайная величина

имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счётное число значений. Значения эти иначе называют атомами:

имеет атом в точке

, если

Если случайная величина имеет дискретное распределение, то для любого

Дискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой :

Замечание 11. Интеграл выше есть интеграл Лебега, а не Римана. Вполне достаточно, если читатель, не знакомый с интегралом Лебега, будет представлять его себе просто как площадь под графиком подынтегральной функции над множеством

. При этом площадь над множеством

, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, что любая функция, отличающаяся от функции

лишь в конечном или счётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменится от изменения подынтегральной функции на множестве меры нуль.

Доказательство. Пусть

есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции

. Площадь области

равна единице по свойству (f2). Пусть

— множество борелевских подмножеств

, а

— мера Лебега (площадь) на множествах из

. И пусть случайная величина

есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда для любого

выполнено:

(10)

Здесь область есть криволинейная трапеция под графиком плотности, с основанием . По определению, равенство (10) означает, что функция является плотностью распределения случайной величины .

QED

Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений. Множество

, на котором сосредоточено всё распределение, не может состоять из конечного или счётного числа точек. Действительно, если

конечно или счётно, то

, где суммирование ведётся по всем

. Последняя сумма равна нулю как сумма счётного числа нулей, что противоречит предположению

Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено на несчётном множестве с нулевой мерой Лебега. Примером такого множества может служить канторовское совершенное множество, а примером такого распределения — лестница Кантора (выяснить, что это такое!).

Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинацией дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.