next up previous contents index
Next:  Преобразования случайных величин   Up:  Случайные величины и их   Previous:  Свойства функций распределения

§ 7. Свойства нормального распределения

Установим связь между функциями и .
Свойство 9. Для любого справедливо соотношение:

Доказательство.

Мы сделали замену переменных , , верхняя граница интегрирования при такой замене перешла в .

QED

То же самое для случайных величин можно сформулировать так:
Следствие 2. Если , то .
Доказательство. Убедимся, что случайная величина имеет функцию распределения :

QED

Следствие 3. Если , то  
Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения . Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их на графике плотности стандартного нормального распределения):
Свойство 10.    ,    .
Свойство 11. Если , то для любого

Доказательство. При имеем:

QED

Свойство 12   (правило трех сигм). Если , то

(совсем мало).

Доказательство. Перейдём к противоположному событию:

Но величина имеет стандартное нормальное распределение, и можно использовать свойство 11:

(найти в таблице!).

QED

Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от до .

N.Ch.