Следующие два простых примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать их совместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции) не определяется, вообще говоря, распределениями слагаемых: при одних и тех же распределениях слагаемых распределение суммы может быть разным в зависимости от совместного распределения слагаемых.
и 
с одним и тем же
распределением Бернулли с параметром 
и следующей таблицей совместного
распределения: для 
положим
Если 
, то 
, т.е. распределение 
вырождено в точке 1.
Если 
, то 
, т.е. имеет невырожденное дискретное
распределение, принимая значения 0 и 2 с равными вероятностями.
Взяв 
, получим 
, 
и 
, т.е. имеет биномиальное распределение
с параметрами 2 и 1/2.
Если взять 
, получим уже 
, 
и 
, т.е. принимает значения 1, 2 и 3 с равными вероятностями (это не биномиальное распределение).
Ещё раз отметим, что частные распределения и от 
не зависят. Распределение
суммы меняется вместе с совместным распределением и
при неизменных частных распределениях величин и .
имеет стандартное нормальное распределение.
Возьмём 
.
Тогда тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма
имеет вырожденное распределение.
Возьмём теперь 
.
Тогда сумма 
имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение
(проверить!).
N.Ch.