Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением двух типичных случаев: когда совместное распределение координат случайного вектора

либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярные совместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости, и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).

Дискретное совместное распределение.

Определение 35. Говорят, что случайные величины

имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счётный набор чисел

такой, что

Таблицу, на пересечении -й строки и -го столбца которой стоит вероятность , называют таблицей совместного распределения случайных величин и .

Таблицы распределения каждой из случайных величин

в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул:

Так, первое равенство следует из того, что набор , , ... есть полная группа событий, и поэтому событие раскладывается в объединение попарно несовместных событий:

Абсолютно непрерывное совместное распределение.

Определение 36. Говорят, что случайные величины

имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует неотрицательная функция

такая, что для любого множества

имеет место равенство

Если такая функция существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин .

Достаточно, если двойной интеграл по множеству

читатель будет понимать как объём области под графиком функции

над множеством

в плоскости переменных

, как показано на рисунке справа.

Если случайные величины , имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых имеет место равенство:

Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами, как и плотность распределения одной случайной величины:

(f1): Неотрицательность: для любых ;
(f2): Нормированность: .

Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения. Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.

По функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:

(f3): для почти всех .

Из существования плотностей и не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, вектор принимает значения только на диагонали в и уже поэтому не имеет плотности совместного распределения (его совместное распределение сингулярно).

Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частные распределения тоже таковы.