- E1.
- Для произвольной борелевской функции
Доказательство.
Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения.
Пусть
принимает значения
с вероятностями


Тогда
QED
Следствие 10.
Математическое ожидание
существует тогда и только тогда, когда
.


Доказательство.
Условием существование математического ожидания является
абсолютная сходимость ряда или интеграла
в определениях 42 и 43.
По свойству (E1) это и есть условие
при
.


QED
Доказательство.
Пусть случайные величины
и
имеют дискретные распределения со значениями
и
соответственно.
Для борелевской функции
можно доказать свойство, аналогичное (E1) (сделать это!).
Воспользуемся этим свойством для
:






QED
- E5.
- Если
п.н., т.е. если
, то
.
Упражнение 42.
Доказать для дискретного и для абсолютно непрерывного распределений.
Замечание 18.
Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1».
По определению, математическое ожидание — это числовая характеристика распределения. Распределение
же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности.
Поэтому, например, даже если
не при всех
, а на множестве единичной вероятности,
математическое ожидание
всё равно неотрицательно.



- E6.
- Если
п.н., и при этом
, то
п.н., т.е.
.
Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что
имеет дискретное распределение
с неотрицательными значениями
. Равенство
означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности
нулевые, кроме вероятности,
соответствующей значению
.





QED
Из свойств (E5) и (E6) вытекает множество полезных
утверждений:
- E7.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
если
и
независимы и их математические ожидания существуют, то
Доказательство. В дискретном случае:
QED
Замечание 19.
Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства
не следует независимость величин
и
.



Пример 34.
Пусть
принимает значения 0 и
с вероятностями по 1/3 каждое,
и
. Это зависимые случайные величины:



Однако и
, поэтому
.
Пример 35.
Пусть
, и пусть
и
— заведомо зависимые случайные величины (доказать!).
Но математическое ожидание их произведения
равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений
,
и
относительно нуля. Действительно, по свойству
(E1) имеем:






N.Ch.