- E1.
- Для произвольной борелевской функции
Доказательство.
Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения.
Пусть 
принимает значения 
с вероятностями
принимает значения с вероятностями
Тогда
QED
Следствие 10.
Математическое ожидание 
существует тогда и только тогда, когда 
.
существует тогда и только тогда, когда . Доказательство.
Условием существование математического ожидания является
абсолютная сходимость ряда или интеграла
в определениях 42 и 43.
По свойству (E1) это и есть условие 
при 
.
при .
QED
.
. 
Доказательство.
Пусть случайные величины и 
имеют дискретные распределения со значениями
и 
соответственно.
Для борелевской функции 
можно доказать свойство, аналогичное (E1) (сделать это!).
Воспользуемся этим свойством для 
:
и имеют дискретные распределения со значениями
и соответственно.
Для борелевской функции можно доказать свойство, аналогичное (E1) (сделать это!).
Воспользуемся этим свойством для :
QED
- E5.
- Если
п.н., т.е. если 
, то 
.
Упражнение 42.
Доказать для дискретного и для абсолютно непрерывного распределений.
Замечание 18.
Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1».
По определению, математическое ожидание — это числовая характеристика распределения. Распределение
же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности.
Поэтому, например, даже если 
не при всех 
, а на множестве единичной вероятности,
математическое ожидание всё равно неотрицательно.
не при всех , а на множестве единичной вероятности,
математическое ожидание всё равно неотрицательно.- E6.
- Если п.н., и при этом
, то 
п.н., т.е. 
.
Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что имеет дискретное распределение
с неотрицательными значениями 
. Равенство 
означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности 
нулевые, кроме вероятности,
соответствующей значению 
.
имеет дискретное распределение
с неотрицательными значениями . Равенство означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности нулевые, кроме вероятности,
соответствующей значению .
QED
Из свойств (E5) и (E6) вытекает множество полезных
утверждений:
п.н., то 
. 
, то 
п.н.
п.н., то 
. - E7.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
если и независимы и их математические ожидания существуют, то
Доказательство. В дискретном случае:
QED
Замечание 19.
Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства 
не следует независимость величин и .
не следует независимость величин и . Пример 34.
Пусть принимает значения 0 и 
с вероятностями по 1/3 каждое,
и 
. Это зависимые случайные величины:
принимает значения 0 и с вероятностями по 1/3 каждое,
и . Это зависимые случайные величины:
Однако и 
, поэтому
.
Пример 35.
Пусть 
, и пусть 
и 
— заведомо зависимые случайные величины (доказать!).
Но математическое ожидание их произведения
равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений
, и 
относительно нуля. Действительно, по свойству
(E1) имеем:
, и пусть и — заведомо зависимые случайные величины (доказать!).
Но математическое ожидание их произведения
равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений
, и относительно нуля. Действительно, по свойству
(E1) имеем:
N.Ch.