Доказательство. Введём стандартизованные случайные величины — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями (проверить!). Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины равна

(27)

Характеристическую функцию случайной величины можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (27) и устремим к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

QED