═════════ Катречко С.Л.

К вопросу об ╚априорности╩ математического знания

(уточненный вариант текста от 11.09.01)

Поставленная для обсуждения проблема ╚математика и опыт╩ (соотношение априорного и апостеорного в математике) предполагает уточнение статуса математики в системе человеческой деятельности (человеческого знания), что, в свою очередь, ведет к вопросу о природе математического знания и его детерминантах. Выход же на столь общие вопросы требует повышенного внимания к методологии исследования. Поэтому прежде всего дадим краткий абрис нашей методологии.

В качестве отправной точки нашей методологии выбрана известная гегелевская схема: бытие ... ≈ качество ...≈ сущность. На наш взгляд в этой схеме, пусть в несколько мистифицированной форме, схвачены ключевые моменты любого познавательного процесса, представлены основные этапы ≈ ╚логика╩ ≈ развития любого исследования. Поэтому, если представить гегелевский категориальный ряд в качестве методологической схемы, а в этом и состоит суть нашей методологии, то его можно соотнести с основными этапами методологического анализа.

Тем самым анализ математической деятельности (математического знания) должен начинаться с фиксации и уточнения предмета исследования (этап ╚бытия╩), после чего выделенный в общих чертах феномен должен пройти методологическую стадию сопоставления с другими сходными феноменами ≈ в нашем случае необходимо сопоставить математику к естествознанием как нижележащей и философией как вышележащей по отношению к математике практикам (типам знания) ≈ с целью уточнения ╚бытийном╩ статуса выделенного феномена и выявление его специфики (этап ╚качества╩), а конечной целью исследования должно быть выявление его ╚сущности╩ (природы математики), что соответствует третьему ≈ основному ≈ этапу анализа.

Зафиксировав восходящую к Гегелю методологическую схему в чистом ≈ последовательном ≈ виде будем рассматривать ее как некий идеал, с которым должно считаться методологическое исследование. Понятно, что в ходе реального исследования эта схема полностью не реализуема и выделенные этапы нередко перемешены. Это связано с тем, что проблематика всех трех этапов исследования образует своего герменевтический круг, поскольку существует и обратная детерминация нижележащих этапов вышележащими. Так, например, решение вопроса о специфике предмета исследования (этап ╚качества╩) нередко связано с решением (более глубокого) вопроса о ╚сущности╩ предмета, а выделение предмета исследования (этап ╚бытия╩) может существенно корректироваться с учетом результатов последующих ≈ ╚качественного╩ и ╚сущностного╩ ≈ этапов. Однако выявление ╚чистой╩ методологической схемы обладает определенным эвристическим потенциалом, поскольку указывает на наличие и важность предварительных более описательных этапов анализа ≈ ╚бытийного╩ и ╚качественного╩ этапов, предшествующих этапу ╚сущности╩, ≈ которые исследователь должен в той или иной мере учитывать, ставя вопрос о выявление природы того или иного феномена.

Опыт философствования XX века показывает, что нередко серьезные трудности поджидают исследователя уже на первом ≈ ╚бытийном╩ ≈ этапе анализа и связаны с тем, что предмет исследования как правило дается не чистым, а искаженным ≈ в виде ╚превращенной формы╩ (М. Мамардашвили) ≈ образом, т.е. как исторически сложившееся кентаврическое культурное сцепление, требующее значительных усилий по своему ╚очищению╩ (ср. с процедурами ╚деструкции╩ М. Хайдеггера, или ╚деконструкции╩ Ж. Деррида). В частности, как показал М. Фуко, одним из распространенных искажений ≈ ╚сцеплений╩ ≈ такого рода является ╚ошибка непрерывной хронологии╩, когда имеет место невольное заполнение ╚разрывов╩, имеющихся между различными, хотя и близкими историческими феноменами, с целью ╚торжества непрерывного ряда событий╩ [1, стр.12] и постулируемого псевдоединства, вместо тщательного анализа имеющихся в реальной истории ╚дискретных╩ серий.[1]

Следуя критическому настрою М. Фуко сформулируем следующую метаметодологическую дилемму, развернутую уже не в диахронно≈историческом (как у Фуко), а в синхронно-структурном аспекте[2]: является ли математика некоторым целостным феноменом или представляет собой некоторое кентаврическое сцепление близких по духу, но все же различных практик; можем ли мы говорить об едином феномене математики на протяжении длительного периода человеческой истории или мы имеем дело с некоторой ╚серией╩ математических практик, (слабо) связанных между собой (например, отношением ╚семейного сходства╩ (Л. Витгенштейн[3]))?

Формулировка этой дилеммы и обсуждение ее возможных решений тем более уместно, поскольку большинство современных методологов математического знания (в частности, авторов данного обсуждения и предстоящей конференции), явно или неявно понимают под математикой некий единый, сформированный в эпоху Нового времени, комплекс, в то время как одна из исходных ≈ следуя Фуко ≈ интенций нашего анализа заключается в том, чтобы подвергнуть испытанию на прочность данное культурологическое (псевдо?)единство.

Итак первый вопрос, который хотелось вынести на обсуждение и получить на него ответ, сформулируем так: является математика единой ╚гомогенной╩ наукой или в ее составе можно выделить ряд разнородных ≈ сходных, но все же различающихся ≈ практик, и прежде всего (1) ╚геометрию╩ (топологию) и (2) ╚алгебру╩ как два основных ╚способа понимания в математике╩ (Г. Вейль, [3]), как два концептуальных ╚ядра╩, конституирующих два разных математических комплекса ошибочно принимаемых за единую математику?

Выбранное нами различение в составе математического знания отнюдь не случайно или произвольно, а хорошо осознается уже в самом начале развития математического знания и проходит красной нитью через всю ее историю вплоть до XX века (см., например, уже упомянутую выше работу Г. Вейля)[4]. Новизна же нашей постановки проблемы в том, что мы предполагаем возможное ╚усиление╩ этого различия до противоположности и вопрошаем о том, не является ли указанное различие ╚точкой разрыва╩ единого математического комплекса и не следует ли ╚расщепить╩ его на два, что, соответственно, приводит и к ╚расщеплению╩ поставленного в начале единого вопроса о природе и детерминантах единого математического знания на вопросы:

(1)  о природе и детерминантах (+ априоризм versus апостеоризм) ╚геометрического╩ математического комплекса;

(2)  о природе и детерминантах (+ априоризм versus апостеоризм) ╚алгебраического╩ математического комплекса.

Поэтому имеет смысл немного задержаться на указанном различении между ╚геометрией╩ и ╚алгеброй╩ (кавычки указывают на расширенный смысл этих терминов) и более точно выявить его статус и основания.

Достаточно четко это различие фиксируется одним из крупнейших математиков (математиком!, а не философом) XX века Г. Вейлем [3]:

╚Центральное понятие [математики ≈ К.С.] действительного числа позволяет сразу объяснить, чем это вызвано. Система действительного числа подобна двуликому Янусу: с одной стороны ≈ это совокупность <das Field> алгебраических операций + и √ и им обратных, с другой ≈ континуальное однообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический╩ [3, стр.26];

╚Может быть, теперь мы немного лучше поймем отношение между двумя [алгебраическим и топологическим ≈ К.С.] методами┘ В топологии начинают с непрерывной связи как самого изначального и лишь постепенно, в ходе спецификации, вводят те или иные структурные моменты; в алгебре же, наоборот, исходным пунктом математического мышления выступают операции [над дискретными элементами (NB!) ≈ К.С.], а непрерывность (или ее алгебраический суррогат) вводится лишь на заключительном этапе спецификации╩ [3, стр.34].

Если же учесть ключевое для Г. Вейля понимание математики как ╚работы с бесконечностью╩ [чуть более подробно этот ход мысли я развиваю в своей более ранней работе ╚Бесконечность и теория поиска вывода╩, [4]): ╚Эта интуиция возможности ╚всегда увеличить на единицу╩ ≈ открытой счетной бесконечности ≈ лежит в основе всей математике╩ [3а, стр.13], то можно представить следующую схему взаимодействия двух ≈ ╚геометрического╩ и ╚алгебраического╩ ≈ математических комплексов. Центральным, лежащем в середине и в силу этого единящим две разнородных практики, концептом математики является понятие бесконечности[5]. ╚Геометрия╩ и ╚алгебра╩ выступают, согласно Вейлю, как два противоположных способа схватывания бесконечности. Если ╚геометрия╩ начинает свою деятельность, постулируя бесконечность как непрерывность (континуальность), которую потом, путем разбиения, пытается ╚ухватить╩ в своих конструкциях, то ╚алгебраический╩ путь ≈ это операциональное (алгоритмическое) построение дискретной ╚бесконечности╩ (множественности) из первоначально данной ╚единицы╩. Т.е. ╚геометрия╩ и ╚алгебра╩ находятся, если ввести своеобразную иерархическую шкалу, как бы по разные стороны от ╚бесконечности╩: первая из них начинает свой путь ╚вверх╩ от нее к ╚числу╩, пытаясь ╚разложить╩ исходную континуальность, а вторая, находясь ╚выше╩ ее, спускаясь пытается сконструировать бесконечность путем ╚суммирования╩ исходных конечных дискретностей.

Оказывается, что сформулированная выше, восходящая к Вейлю, концепция ╚двухцентровой╩ природы математики соответствует античному ≈ платоно-пифагорейскому ≈ пониманию эпистемологического статуса математического знания. Ее суть ≈ в достаточно четком (онтолого-эпистемологическом) иерархическом различении двух математических практик (арифметики и геометрии), несмотря на то, что обе они онтологически находятся как бы в ╚невещественном промежуточном мире╩ (Прокл) между идеальным (априорным) миром идей и эмпирическим (апостеорном) миром вещей. Вот как это различие ≈ на онтологическом уровне ≈ фиксируется Проклом в его комментарии к книге ╚Начал╩ Евклида [5]:

╚И пусть геометр утверждает, что если данные четыре величины (NB! геометрия ╚работает╩ с величинами ≈К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и пусть доказывает это, опираясь на начала своей науки (выделено мной ≈ К.С.); арифметик к ним обратиться не может, но пусть и он утверждает, что если данные четыре числа (NB! арифметика , в отличие от геометрии, ╚работает╩ с числами ≈ К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и доказывает это исходя из начал своей науки╩ [5, стр.53-55];

╚Поэтому, кстати, мы не требуем от всей математической науки одинаковой точности: ведь если одна ее часть так или иначе соприкасается с чувственно воспринимаемым (геометрия ≈ К.С.), а знанию (арифметике ≈ К.С.) другой принадлежит умопостигаемое, не могут обе быть точными, но одна ≈ точнее другой╩ [5, стр.103];

╚Так вот, если исходить из точности, то арифметика точнее геометрии, потому что ее начала отличаются простотой: монада лишена положения, а точка имеет положение, и точка, когда она получила положение, является началом геометрии, а начало арифметики ≈ монада╩ [5, стр.153].

Соответственно, различие в эпистемологическом статусе между геометрией и арифметикой заключается в том, они реализуются с помощью различных познавательных способностей. У Платона арифметика как изучающая умопостигаемые (интеллигибельные) числа (монады) подпадает под власть ума-разума (ноэзиса), в то время как геометрия изучающая материально-интеллигибельные, или интеллигибельно-материальные (=пространственные; в античности (у Платона) пространство (хора) выступает как особая интеллигибельная материя) фигуры является предметом мысли низшей по отношению к ноэзису способности ума-рассудка (диаонойи). Прокл же, особо обсуждая статус уже геометрии в своем втором введении [5, стр.128≈197], еще больше понижает эпистемологический статус геометрии по отношению к арифметике, т.к. познавательной способностью геометрии является уже даже не низшая часть ума ≈ рассудок (как это было у Платона), а воображение, которое занимает еще более низкое ≈ промежуточное ≈ положение между умом и чувственностью[6]:

Попробуем явно сформулировать античную парадигму математики. Математика является условно-единым (квази)комплексом, в составе которого можно выделить две разнородные ≈ как в онтологическом, так и в эпистемологическом плане ≈ практики: геометрию и арифметику. С ╚внешней╩ точки зрения математическое знание ≈ как единый комплекс ≈ занимает срединное положение между ╚физикой╩ и ╚метафизикой╩; ╚внутри╩ же математики арифметика занимает более высокое по отношению к геометрии ╚положение╩, т.е. является более ╚метафизической╩ составляющей математического комплекса. Соотношение между геометрией и арифметикой можно трактовать как двухуровневое строение математического знания: геометрия соответствует нижнему ≈ ╚квазиэмпиричекому╩ ≈ менее абстрактному (и более содержательному) уровню, в то время как арифметика соотносится с более абстрактным (формальным) уровнем математического знания, что в области естествознания аналогично уровню ╚теоретической науки╩. В соответствие с этим различением между арифметикой и геометрией можно предложить ╚античное╩ решение вопроса о априорности ≈ апостеорности математики: если арифметика тяготеет к априорному, умопостигаемому знанию и сродни метафизике (философии), то геометрия тяготеет к апостеорному (эмпирическому) естествознанию (механике, астрономии, оптике, геодезии etc).

Кроме этого можно предложить общий ╚механизм╩ развития математической парадигмы. Модификация античной парадигмы возможна по двум ╚параметрам╩ (соответственно, есть две детерминанты развития математического знания). С одной стороны, возможно варьирование всего математического квазикомплекса в целом по шкале ╚метафизика ≈ физика╩, и тогда можно говорить о большей или меньшей абстрактности (априорности) ≈ эмпиричности математики в целом, той или иной степени сходства математики с ╚физикой╩ или ╚метафизикой╩ (╚внешняя╩ детерминация)[7]. С другой стороны, возможна ╚внутренняя╩ флуктуация (перестройка, модификация) математического знания в сторону одного из двух выделенных нами ╚центров╩: алгебраизации или геометризации, т.е. ╚чередование╩ алгебраических и геометрических ╚всплесков╩ уже внутри той или иной математической парадигмы. Причем, что является третьим важным моментом предлагаемого нами подхода, в ходе развития математического знания, в силу относительной независимости ╚внешних╩ и ╚внутренних╩ детерминант, возможно как совпадение, так и несовпадение ╚векторов╩ их развития, что усложняет решение вопроса о статусе математики и степени его абстрактности, априорности etc: например, при ╚внешней╩ тенденции к сращению математики с ╚физикой╩, что снижает степень ее априорности, тенденция математики к алгебраизации приводит к возрастанию степени ее абстрактности в составе физико-эмпирического комплекса знания.

С этих позиций обратимся теперь к анализу (развития) математической парадигмы знания в последующие эпохи. Принципиально иное решение о статусе математического знания (с учетом ╚внешних╩ и ╚внутренних╩ факторов) мы находим в Новое время, когда, как уже отмечалось выше, и был ╚создан╩ собственно тот единый культурологический комплекс ╚математика╩ ≈ нововременная парадигма математики, во многих отношениях господствующая и в наши дни. Специфицирующей чертой этой парадигмы является нивелирование различий между геометрией и арифметикой, сближение этих разнородных познавательных практик в составе универсальной ╚всеобщей математики╩ (mathesis universalis), что связано, прежде всего, с фигурой Декарта, которому за счет алгебраизации геометрии ≈ создания аналитической геометрии ≈ удалось концептуально срастить арифметику и геометрию в единую науку[8]. Именно с этой фигуры начинается формирование новой парадигмы математики. Однако в процессе ее формирования и модификации не только этот ≈ ╚внутренний╩ ≈ фактор является решающим. С одной стороны, при отмеченном выше ╚подтягивании╩ геометрии до алгебры (╚внутренняя╩) абстрактность математического комплекса усиливается и происходит повышение ее эпистемологического статуса по отношению к ╚физике╩: математика занимает место как бы ╚прикладной метафизики╩ выше науки, поскольку ≈ как говорил ближайший предшественник Декарта, Галилей ≈ вся природа написана на языке математики. С другой стороны, в Новое время существенно снижается общий (╚внешний╩) онтологический статус математического знания, поскольку происходит отождествление пространства геометрического (античной интеллигибельной материи) и пространства физического (чувственно данной, телесной материи), т.е. происходит общий ╚дрейф╩ от ╚метафизике╩ к ╚физике╩ (здесь, например, достаточно показателен термин ╚натурфилософия╩ из основополагающей работы И. Ньютона). Кроме этого, необходимо учитывать общую тенденцию к сциентизму, которым характеризуется Новое время.

Пропуская ряд ключевых фигур, остановимся чуть более подробно на взглядах на природу математического знания И. Канта, который завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого математического комплекса XVI √ XVII вв. Речь идет о том, что Кант находит для ╚алгебры╩ и ╚геометрии╩ единое (трансцендентальное) эпистемологическое основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии ╚выводится╩ из априорной формы чувственности ≈ пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности ≈ время[9].

Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает ╚внутренний╩ статус математического знания, помещая ее на ╚шкале╩ познавательных способностей даже ниже (теоретической) ╚физики╩, которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной, чем надстраивающаяся над чувственно-математическом базисом теоретико-рассудочное естествознание и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания. (Заметим, что согласно Канту математика по степени своей априорности (абстрактности, теоретичности) значительно уступает ╚физике╩, что не согласуется с общепринятым сейчас положением о большей абстрактности математического знания по отношению к другим наукам и свидетельствует о значительной модификации кантовской парадигмы математики в настоящее время).

Во-вторых, хотя это не столь очевидно и требует некоторых оговорок, базисом объединения математики выступает уже не более интеллигибельная ╚алгебра╩, как это было у Декарта, а чувственноподобная ╚геометрия╩. Основаниями (историческими) для совершенной Кантом (в концептуальном ≈ эпистемологическом ≈ плане) ╚геометризации╩ математики служат: во-первых, как это не парадоксально звучит с учетом совершенной Декартом алгебраизации геометрии, общая метафизическая концепция Декарта ≈ введение им (геометризированной!) ╚субстанции протяженной╩ (что указывает на специфику нововременной алгебраизации математики, если ее рассматривать не с внутриматематической, а с внешней ≈ общефилософской ≈ точки зрения); во-вторых, ньютоновская концепция абсолютного пространства и времени (ср. кантовскими априорными созерцаниями), которые представляет собой как бы субстанциональный фон (последующего) ╚телесного╩ мира. Суть же нововременной, завершенной Кантом, концептуальной ≈ в отличие от внутриматематической алгебраизации ≈ ╚геометризации╩ математики заключается в том, что время, по аналогии с пространством, рассматривается как (априорное чувственное) созерцание, т.е. как некоторая ╚статическая╩ ≈ а-ля-пространственнная ≈ данность, или как некоторая объемлющая вещи ╚среда╩ (= аналог ньютоновского абсолютного пространства), из которой исключается существенный для природы времени ╚динамический╩ ≈ ╚событийный╩ ≈ аспект. Обобщая, это можно назвать феноменом (нововременного) опространствливания времени, что в последующем, с одной стороны, послужило концептуальной базой для последующей специальной теории относительности (А. Эйнштейн), в рамках которой время рассматривается просто как одно из (а-ля-пространственных!) ╚измерений╩, а, с другой стороны, вызвало резкую критику такого рассудочно-статического рассмотрения времени у А. Бергсона.

В-третьих, это противоположная первым двум тенденция повышения ╚метафизического╩ статуса математики, составляющая суть кантовского ╚коперниканского переворота╩, концепция априорности пространства (и времени), что отчасти возрождает античное понимание статуса математического знания. При более детальном сопоставлении античной (пифагоро-платона-аристотелевской) и кантовской концепции математики (числа) можно выделить следующее. Во-первых, как это уже отмечалось выше в первом замечании, Кант исключает категории пространства и времени из числа рассудочных категорий (соответственно, математику из области ╚ума╩, развивая концепцию Прокла), хотя против этого, особенно по поводу категории времени, есть весьма веские основания. Дело в том, что в основе построения (рассудочной) категориальной сетки Канта лежит анализ суждений (╚все действия рассудка мы можем свести к суждениям╩, а ╚понятия же относятся к как предикаты возможных суждений╩, то ╚┘все функции рассудка можно найти, если полностью показать функции единства в суждениях╩ [6, стр.80; см. также анализ ╚категориальной сетки╩ Канта и ее сравнение с подходом Аристотеля в работе Г. Райла ╚Категории╩), и Кант выделяет такую характеристику суждений как (алетическую) модальность. Алетические модальности же, как это известно было уже в античности (анализ высказываний о будущих событиях Аристотеля, построения Диодора) тесно связаны с категорией времени: ╚возможность╩ можно соотнести с ╚будущим╩, а ╚необходимость╩ ≈ с настоящим. Поэтому вполне возможно рассматривать ╚время╩, не как априорную форму чувственности, а как своеобразную рассудочную категорию[10]. Во-вторых, обратной стороной такого понижения эпистемологического статуса математики является существенное переосмысление базового концепта математики ≈ понятия числа. Кант тесно увязывает категории ╚числа╩ и ╚времени╩ через понятие ╚числового ряда╩. В этом смысле Кант рассматривает не число как таковое, а ╚числовой ряд╩, основывающийся на априорном созерцании времени. Это можно трактовать как исключение из античного числа как единства предела и беспредельного первой ≈ собственно ╚метафизической╩ ≈ составляющей.

Таким образом, концепция математического априоризма Канта представляет собой промежуточный вариант ≈ между сверх-априоризмом античности и эмпиризмом Нового времени ≈ понимания природы и статуса математического знания.

Для иллюстрации посткантовских изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе (очень выборочному в этом предварительном варианте текста) взглядов Г. Кантора и Г. Фреге. Наша задача заключается в том, чтобы на примере анализа их воззрений на природу числа показать тенденцию ≈ отчасти анти-кантовскую и анти-нововременную в целом ≈ к повышению ╚метафизичности╩ математики. Надо сразу же оговориться, что оба указанных мыслителя работают в области ╚алгебры╩ (что соответствует общей тенденции к ╚алгебраизации╩ математики в это время), и это несколько сужает индуктивную базу наших обобщений на развитие математического знания в целом, но тем не менее анализ их концептуальных воззрений на природу числа достаточно показателен и характеризует существенное изменение, произошедшие с парадигмой ╚единой математики╩ в конце XIX ≈ начале XX века[11].

Начнем с анализа взглядов Г. Кантора. Остановимся на его революционном в концептуальном отношении понятии ╚кардинального числа╩. Вот канторовское определение: ╚■мощностью■ или ■кардинальным числом■ множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания╩ [7, с.173]. Результат этой двойной абстракции Кантор обозначает как //М (двойная черта указывает на двойное абстрагирование). Из приведенного определения видно, что канторовское концептуальное переосмысления понятия числа заключается в введении мета-абстрактных объектов ╚кардинальных чисел╩ (мета-чисел), которые выступают как результат (вторичного) абстрагирования от обычных ≈ порядковых ≈ чисел, являющихся, в свою очередь, результатом первичного абстрагирования от ╚качественной╩ определенности предметов реального мира. Понятно, что это огромный шаг вперед по сравнению ╚порядковым╩ (╚временным╩) пониманием числа у Канта. Однако этот шаг в определенном отношении не только возрождает ╚метафизическое╩ понимание математического знания в античности, но и развивает ее еще дальше. Точнее здесь происходит возрождение самого крайнего пифагоро-платоновского ≈ в противовес аристотелевскому квазиэмпиризму ≈ априоризма античности, поскольку в концептуальном (категориальном) отношении канторовское ╚кардинальное число╩ находится ╚выше╩ аристотелевской категории ╚количества╩. Т.е. статус теории множеств не просто формален, как отвлечение от ╚качественных╩ особенностей вещей (математика 1 уровня ≈ ╚квазиэмпирическая математика╩), но и мета-формален (математика 2 уровня ≈ мета-математика), поскольку здесь происходит вторая, более ╚метафизическая╩, абстракция от категории ╚количества╩. Тем самым Кантор дает возможность для конституирования новой математики, математики второго уровня, или ╚мета-математики╩ (в широком смысле этого слова), что и было реализовано в Д. Гильбертом (мета-математика в узком смысле), Б. Рассела (математика и логика), а в впоследствии Н. Бурбаки (понятие ╚математической структуры╩). (Заметим, что определенным противововесом этой ╚метафизической╩ тенденции развития математики выступает интуиционизм как более ╚эмпирическая╩ в эпистемологическом отношении ≈ а-ля-кантовская ≈ позиция.)

Более развернутая в концептуальном плане ╚метафизическая╩ концепция числа принадлежит Г.Фреге. Покажем это на примере анализа его фундаментальной работы ╚Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа)╩ [8], которая определенным образом учитывает и ╚метафизические╩ достижения канторовской мысли об абстрактном статусе (канторовских) ╚бесконечных чисел╩. Прежде всего, Фреге убедительно показывает (в частности, критикуя за это и Кантора[12]), что число не может быть свойством ╚внешних╩ вещей наподобие понятия цвета, твердости, тяжести etc и получаться путем абстрагирования из предметов, и, тем самым, опровергает тезис о математике как опытной науке (см. [8], гл. ╚Является ли число свойством внешних предметов?╩). С другой стороны, в отличие от Канта, оно не может быть чем-то субъективным, т.е. ╚внутренним╩ представлением (см. [8], гл. ╚Является ли число чем-то субъективным?╩). Поэтому оно должно быть ╚нечувственным и объективным╩ [8, стр.57], т.е. занимать какое-то промежуточное положение между ╚внешними╩ вещами и ╚внутренними╩ представлениями (ср. с платоновским решением о промежуточном онтологическом статусе математических (геометрических) объектов). В этом отношении ╚числа╩ должны быть подобны предикатам, если мы понимаем их (предикаты) в платоновском смысле как ╚идеи╩ (=свойства) вещей. Однако ╚число╩ ≈ на примере ╚единицы╩ ≈ по своему статусу отличается и от ╚реальных╩ предикатов (т.е. является специфическим предикатом). Вот как Фреге фиксирует это различие: ╚Если бы ╚один человек╩ понимался наподобие ╚мудрый человек╩, то следовало бы думать, что ╚один╩ может использоваться как предикат, поэтому также как ╚Солон был мудрый╩ можно было бы сказать ╚Солон был один╩┘Но само по себе ╚один╩ не может быть предикатом [в тексте Фреге здесь стоит сноска, которую мы опускаем, но заменяем ее своим разъяснением[13] ≈ К.С.]. Еще яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как ╚Солон был мудрый╩ и ╚Фалес был мудрый╩ можно скомбинировать ╚Солон и Фалес были мудрые╩, нельзя сказать ╚Солон и Фалес были один╩ [8, стр.58-59]. Далее Фреге, ссылаясь на Баумана и Ст. Джевонса, делает еще один небольшой шаг, принципиальный для нас в связи с предшествующим изложением кантовской позиции на природу математики, когда подчеркивает независимость числа от времени (пространства) в связи с возможной применимостью ╚числа к непространственному и невременному╩ [8, стр.71]. Таким путем, последовательно отвергая различные понимания числа из-за их узости (по логическому объему): абстрагирование от предметов (неправомерное сходство числа с качественными признаками предметов ≈ математика как опытная наука), (неправомерное) отождествление числа с пространственно-временными характеристиками существования предметов (кантовский априоризм), (неправомерное) сходство числа с реальными предикатами ≈ Фреге приходит к пониманию числа как чистого ╚количества╩[14]. Суть фрегевского подхода заключается в том, что число является не реальным предикатом (предикатом первого уровня), а предикатом второго уровня, мета-предикатом; число является (количественной) характеристикой не предметов как таковых, а характеристикой понятий (о предметах), или, говоря другими словами, характеристикой ╚неопределенных [абстрактных ≈ К.С.] предметов╩: ╚число приложимо только к понятию [а не к предмету!; выделено мной ≈ К.С.], под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное╩ [8, стр.77]. Здесь же он приводит ключевые для уяснения его позиции слова Б. Спинозы: ╚Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной [т.е. ╚принимать╩ числовые ≈ количественные ≈ характеристики ≈ К.С.] лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род [т.е. когда рассматриваются не сами по себе, а как ╚родовые╩, т.е. понятийные, конструкты, как абстрактные объекты; выделено мной ≈ К.С.]╩ [8, стр.78-79]. Обратим внимание на корреляцию категорий ╚существования╩ (╚бытия╩) и ╚числа╩ в этом отрывке. Чуть ниже Фреге эту коррелятивную связь несколько расшифровывает: ╚В этом отношении существование [предикат существования ≈ К.С.] имеет сходство с числом [с предикатом числа ≈ К.С.]. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль [cоответственно, полагание числа один в частном случае, когда мы говорим ╚Сократ╩ (неявно приписывая ему мета-предикат ╚есть╩ (╚существует╩) равный числовому мета-предикату ╚один╩) ≈ К.С.]╩, поскольку Фреге различает признаки предметов и свойства (мета-признаки) понятий: например, ╚┘прочность, вместительность, удобство [понятия] дома не могут применяться при его строительстве, наряду с камнями, строительным раствором и бревнами╩ [8, стр.80]. Т.е. Фреге сближает основополагающее для арифметики понятие ╚число╩ с основополагающим метафизическим понятием ╚бытие╩ и, тем самым, приравнивает эпистемологический статус арифметики статусу метафизики (вспомним, что ранее Кант показал, что ╚бытие╩ также не является ╚реальным╩ ≈ ╚содержательным╩ ≈ предикатом).

Подводя итог рассмотрению взглядов Фреге, можно сказать, что он обосновал возможность математики как мета-науки, или науки, исследующей свойства не (эмпирических) предметов, а понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее ╚алгебраический╩ комплекс, является мета-теоретической дисциплиной по сравнению с ╚содержательными╩ теоретическими дисциплинам типа физики, химии.., или, как принято говорить, математика является не содержательной, а ╚формальной╩ дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой (как учением о (платоновских) ╚формах╩). В середине XX века этот подход получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах ╚математических структур╩, которые, в свою очередь, могут рассматриваться как ╚количественные╩ абстракции первого уровня.

Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо ╚эмпирического╩ слоя математического знания, связанного с количественной-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от ╚качественной╩ определенности предметов), возможна и математика второго ≈ ╚теоретического╩ ≈ уровня, которая изучает более высокие абстракции: ╚надпорядковые╩ структуры (╚кардинальные числа╩ Кантора) и/или ╚неопределенные предметы╩ ≈ понятия (Фреге).

В заключении нашей работы позволим себе (пока что на правах ╚смелой догадки╩) высказать небольшое, но важное методологическое замечание. Что такое ╚априорное╩ в его противопоставлении ╚апостеорному╩? Анализ взглядов античных мыслителей (Прокла), Канта, Кантора и Фреге показал, что область абстрактного, с чем имеет дело любая математическая практика не гомогенна и имеет определенную ╚внутреннюю╩ структуру (иерархию), в рамках которой есть абстрактные понятия разных степеней и разного ╚происхождения╩ (╚формальные╩ = ╚априорные╩ versus ╚содержательные╩ = ╚апостеорные╩). Это же справедливо и по отношению к области априорного. Например, в этой иерархии, если использовать кантовский ход мысли, (формально-априорные) категории ╚пространства╩ и ╚времени╩ занимают первую ступень, рассудочные категории ≈ относятся ко второй ступени, а метафизические категории, к которым примыкает и фрегевское ╚число╩ ≈ к третьей ступени. Аналогичным образом можно произвести упорядочивание содержательно-эмпирических (не-априорных) абстракций. Однако вполне возможно, что на своих верхних ступенях эти иерерахии апирорно-абстрактного и апостеорно-абстрактного ╚пересекаются╩, т.е. сливаются в одну область сверх-абстрактного. Поэтому при анализе высших ступеней этих иерархий можно отказаться от мифа абсолютного противопоставления априорного ≈ апостеорного[15], точно так же как в свое время У. Куайн отказался от абсолютного противопоставления аналитического и синтетического (а еще раньше Н. Кузанский показал возможность совпадения абсолютных максимума и минимума). Вместо этого мы (в этой работе) предпочитаем говорить о ╚степени╩ априорности, или абстрактности, или формальности того или иного феномена.

Поэтому вопрос об априорности ≈ апостеорности математики должен решаться, во-первых, с учетом структурной неоднородности (как по горизонтали, так и по вертикали) математического знания; во-вторых, исторической флуктуации ≈ ╚дискретности╩ по М. Фуко ≈ этого феномена (смена математических парадигм); в-третьих, с учетом смысловой ╚сложности╩ самого концепта ╚априорного╩.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Суммируем основные тезисы нашего исследования.

1.   (Основной тезис) Математика не является однородной ≈ ╚одноцентровой╩ ≈ научной дисциплиной. Говорить об единстве математики надо с некоторой долей осторожности. По своей природе математика разнородна, в ее составе есть два различных ╚центра╩: ╚алгебра╩ и ╚геометрия╩ (или даже три центра, если различить арифметику как науку о числе и алгебру как науку об операциях (алгоритмах)). Эпистемологический статус этих составляющих математического знания различен. Если ╚алгебраическая╩ составляющая тяготеет к метафизическому знанию и априорности, то ╚геометрическая╩ составляющая тяготеет к ╚физике╩ и апостеорности (эмпиричности). Следовательно, при решение вопроса об априорности математического знания надо учитывать ее неоднородный, ╚двухцентровый╩ характер. На протяжении истории развития математического знания происходит последовательная смена основной ╚центровости╩ математического знания. В отдельные исторические периоды преобладает либо ╚алгебраическая╩ составляющая математики, либо ее ╚геометрическая╩ составляющая. Наряду с этим процессом ╚внутренней╩ флуктуации, развитие математического знания подчиняется и ╚внешним╩ детерминантам развития.

2.   Высказанная в предыдущем тезисе позиция о неоднородности математического знания должна быть дополнена указанием на иерархичность ≈ ╚вертикальную╩ неоднородность ≈ математического знания, что особенно проявилось (и было осознано) на более зрелом этапе ее развития (XX в.). Если в п.1 арифметика и алгебра мыслились как двухчленная иерархия, то теперь оказывается, что и сами эти дисциплины неоднородны, иерархичны. Тем самым внутренняя структура математического знания еще более усложняется. Соответственно, это также накладывает существенные ограничение на решение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, т.к. верхние ее этажи являются более ╚априорными╩, чем нижние.

3.   Кроме этого, необходимо отказаться от мифа абсолютного противопоставления ╚априорное versus апостеорное╩, которое выражает лишь крайние степени ╚абстрактного╩. Это противопоставление имеет ограниченное методологическое применение и значимо (1) для анализа простых познавательных практик и (2) на начальных этапах анализа сложных познавательных практик. При более детальном анализе знания (познания) это различения является слишком ╚грубым╩ и теряет свою эвристическую ценность.

 

Литература

1.    М. Фуко Археология знания. Киев, ╚Ника-Центр╩, 1996.

2.    Л. Витгенштейн Философские исследования //Его же. Философские работы. Часть 1. М., ╚Гнозис╩, 1994.

3.    Г.Вейль Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике //Его же. Математическое мышление. М., Наука, 1989.

3a. Г.Вейль Математическое мышление //Его же. Математическое мышление.

4.    Катречко С.Л. Бесконечность и теория поиска вывода //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты (сборник). ≈ М., Янус-К, 1997. ≈ стр.190-196.

5.    Прокл Комментарий к первой книге ╚Начал╩ Евклида. Введение. М., Греко-Латинский кабинет, 1993.

6.    И. Кант Критика чистого разума (серия ╚Философское наследие╩). М., Мысль, 1994.

7.    Г. Кантор К обоснованию учения о трансфинитных множествах //Его же. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985. ≈ стр.173≈246.

8.    Г.Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа). Томск, ╚Водолей╩, 2000.