Апории Зенона

[править]

Апори́и Зено́на (от др.-греч. ἀπορία, трудность) — внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский (V век до н. э.). Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые в «Физике» Аристотеля (а также в комментариях Симпликия к этому труду).^[1]

Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».^[2] Апории Зенона обсуждаются более двух тысячелетий, им посвящены сотни исследований.^[2] Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось.

Содержание [убрать] 1 Формулировки апорий 1.1 Ахиллес и черепаха 1.2 Дихотомия 1.3 Летящая стрела 2 Критика апорий Аристотелем 3 Современная трактовка 4 Апории Зенона в литературе и искусстве 5 См. также 6 Литература 6.1 Научный анализ апорий 7 Ссылки 8 Примечания

[править] Формулировки апорий

Приведём изложение трёх наиболее известных апорий Зенона.

[править] Ахиллес и черепаха

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха в ту же сторону проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

[править] Дихотомия

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности.

[править] Летящая стрела

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть покоится всегда.

Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской «школы имён» (мин цзя) Гунсунь Луну (середина IV в. до н. э. — середина III в. до н. э.):

• «В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
• «Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

[править] Критика апорий Аристотелем

В главах 2-й, 8-й и 9-й своей «Физики» Аристотель подробно анализирует и отвергает рассуждения Зенона^[3], подчёркивая, что хотя интервал времени можно неограниченно делить, но его нельзя составить из изолированных точек-моментов и нельзя этой бесконечной делимости соотносить бесконечное время:

…никакое движение не может совершаться непрерывно, за исключением кругового.<…>
Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда — говорит он — всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент «теперь» всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время не слагается из неделимых «теперь», а также никакая другая величина.
Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца.<…> Второе — так называемый «Ахиллес»: оно состоит в том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. И это рассуждение основывается на делении пополам, отличается же [от предыдущего] тем, что взятая величина делится не на две равные части.<…>
Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь»; если это не признавать, силлогизма не получится.

[править] Современная трактовка

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому нельзя ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.^[4]

Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают:^[5]

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения:^[6]

Ещё со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a₁,a₂,a₃… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой:^[7]

[Понимание апорий состоит] в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения (актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса.

Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти у Бурбаки:^[8]

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени.^[9] Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами Единой теории поля^[10],— однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».^[11]

[править] Апории Зенона в литературе и искусстве

Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?».^[14]

Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории.

Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса.

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

[править] См. также

• Квантовый эффект Зенона
• Машина Зенона
• Стадион (апория)

[править] Литература

• Аристотель. Физика. В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. ЭКСМО-Пресс; Харьков 1999. — 1056 с.
• Платон. Парменид. В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах, М., 1968—1970.
• Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики. // Изд.подг. А. В. Лебедев. М.:Наука, 1989. — 576 с.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 88-93.
• Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах. Минск: Харвест, 1999. 784 с. (Классическая философская мысль).

[править] Научный анализ апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

• Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле //ЖМНП.1888. Ч.255. С.203-239.
• Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения.-ЖМНП.1911. Ч.XXXIV.Август. Отд.2. С.207-221.
• Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности//ЖМНП.1915. Нов.сер. Ч.LVI.Апрель. С.289-328.
• Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана//Под знаменем марксизма.1928.№ 4.
• Богомолов С. А. Актуальная бесконечность:Зенон Элейский,Ис. Ньютон и Георг Кантор. Л.;М.,1934
• Яновская С. А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апории Зенона»?//Проблемы логики. М.,1963.С.116-136.
• Богомолов А. С. «Летящая стрела» и закон противоречия// Философские науки.1964.№ 6.
• Нарский И. С. К вопросу об отражении диалектики движения в понятиях: (Еще раз о парадоксе «Летящая стрела»)// Формальная логика и методология науки. М.,1964.С.3-51.
• Цехмистро И. З. Апории Зенона глазами XX века//Вопросы философии.1966.№ 3.
• Панченко А. И. Апории Зенона и современная философия//Вопросы философии. 1971. № 7.
• Манеев А. К. Философский анализ зеноновских апорий. Минск, 1972.
• Кузнецов Г. А. Непрерывность и парадоксы Зенона «Ахиллес» и «Дихотомия»//Теория логического вывода. М.,1973.
• Комарова В. Я. Становление философского материализма в Древней Греции. Логико-гносеологический аспект диалектики философского познания. Л. ЛГУ. 1975 г. 135 с.
• Широков В. С. Жан Буридан об апориях Зенона // Философские науки.-1982.-№ 4.- С.94-101.
• Смоленов Х. Апории Зенона как эвристики атомизма и диалектики//Логико-методологический анализ научного знания. М.,1979.С.76-90.
• Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов. Л.: ЛГУ, 1988. 264 с.
• Солодухина А. О. Решил ли Айдукевич апорию Зенона «Стрела»?//Научная конференция «Современная логика:проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., 1996
• Анисов А. М. Апории Зенона и проблема движения //Труды научно-исследовательского семинара Логического центра ИФ РАН. М.,2000. Вып. XIV. С. 139-155.
• Смирнов А. В. Соизмеримы ли основания рациональности в разных философских традициях? Сравнительное исследование зеноновских апорий и учений раннего калама. //Сравнительная философия. М., 2000.С.167-212.
• Вилесов Ю. В. Апории Зенона и соотношение неопределенностей Гейзенберга. // Вестник МГУ. Сер.7. Философия. 2002, № 6. С. 20-28.
• Vlastos G. A. A note of Zeno’s arrow // Phronesis. 1966. Vol.XI. P.3-18. *Salmon W. Zeno’s paradoxes. New York, 1970
• Chambers, Connor J. Zeno of Elea and Bergson’s Neglected Thesis // Journal of the History of Philosophy — Volume 12, Number 1, January 1974. P. 63-76.
• Vlastos G. A. Plato’s testimony concerning Zeno of Elea //Journal of the History of Ideas (New York), 1975. Vol.XLV. P.136-162.
• Salmon, W. C. Zeno’s Paradoxes, 2nd Edition, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc. 2001.
• Smirnov A. Do the Fundamentals of Rationality in Different Philosophical Traditions Correspond? A comparative study of Zeno’s paradoxes and teachings of early Kalām // Islam — West Philosophical Dialogue: the papers presented at the World Congress on Mulla Sadra, May, 1999, Tehran. Tehran: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004.P.109-120.

[править] Ссылки

• Хазарзар Руслан. Апории Зенона.
• Апории Зенона на warrax.net.
• Дж. Уитроу. Eстественная философия времени. Апории Зенона.

[править] Примечания

[скрыть] п·о·р Мысленные эксперименты
Персоналий и персонажей	Лаплас: Демон Лапласа · Максвелл: Демон Максвелла · Шрёдингер: Кот Шрёдингера · Рассел: Чайник Рассела · Эйнштейн: Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена · Апории Зенона: Ахиллес и черепаха · Дихотомия · Стадион · Стрела Зенона
Физические	Демон Лапласа · Демон Максвелла · Квантовое бессмертие · Квантовое самоубийство · Кот Шрёдингера · Парадокс Белла · Парадокс субмарины · Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена · Парадокс близнецов · Микроскоп Гейзенберга · Пушечное ядро Ньютона  · Парадокс Эренфеста
Кибернетические	Задача двух генералов · Задача византийских генералов · Китайская комната · Имитация реальности  · Мозг в колбе
Другие	Теорема о бесконечных обезьянах · Парадокс Ньюкома · Дилемма заключённого  · Комната Марии  · Парадокс Левинталя  · Философский зомби
Научная методология  · Мышление