Апории Зенона [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Апори?и Зено?на (от др.-греч. ??????, трудность) — внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский (V век до н. э.). Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые в «Физике» Аристотеля (а также в комментариях Симпликия к этому труду).[1] Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».[2] Апории Зенона обсуждаются более двух тысячелетий, им посвящены сотни исследований.[2] Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось. Зенон показывает ученикам двери к Истине и Лжи. Фреска в библиотеке Эскориала. Содержание [убрать] * 1 Формулировки апорий o 1.1 Ахиллес и черепаха o 1.2 Дихотомия o 1.3 Летящая стрела * 2 Критика апорий Аристотелем * 3 Современная трактовка * 4 Апории Зенона в литературе и искусстве * 5 См. также * 6 Литература o 6.1 Научный анализ апорий * 7 Ссылки * 8 Примечания [править] Формулировки апорий Приведём изложение трёх наиболее известных апорий Зенона. [править] Ахиллес и черепаха Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха в ту же сторону проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. [править] Дихотомия Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. [править] Летящая стрела Стрела Зенона Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть покоится всегда. Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской «школы имён» (мин цзя) Гунсунь Луну (середина IV в. до н. э. — середина III в. до н. э.): * «В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки». * «Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений». [править] Критика апорий Аристотелем В главах 2-й, 8-й и 9-й своей «Физики» Аристотель подробно анализирует и отвергает рассуждения Зенона[3], подчёркивая, что хотя интервал времени можно неограниченно делить, но его нельзя составить из изолированных точек-моментов и нельзя этой бесконечной делимости соотносить бесконечное время: …никакое движение не может совершаться непрерывно, за исключением кругового.<…> Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда — говорит он — всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент «теперь» всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время не слагается из неделимых «теперь», а также никакая другая величина. Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца.<…> Второе — так называемый «Ахиллес»: оно состоит в том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. И это рассуждение основывается на делении пополам, отличается же [от предыдущего] тем, что взятая величина делится не на две равные части.<…> Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь»; если это не признавать, силлогизма не получится. [править] Современная трактовка Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому нельзя ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.[4] Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают:[5] Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться. Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения:[6] Ещё со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a1,a2,a3… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие. Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой:[7] [Понимание апорий состоит] в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения (актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса. Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно. Близкую точку зрения можно найти у Бурбаки:[8] Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера. Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени.[9] Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами Единой теории поля[10],— однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось. Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».[11] [править] Апории Зенона в литературе и искусстве Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. —— А. С. Пушкин, «Движение» (1821)[12]. В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» — это Зенон, его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (хотя оба они жили существенно позднее Зенона). И куда же ты полез, Ахиллес? Говорил: "Вон ту фигню? Догоню!” Никому, едрёна мать, не поймать философских черепах в черепах. —— Евгений Лукин[13] Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?».[14] Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории. Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса. В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».