Кафедра системного анализа
(зав. Кафедрой - Александр Борисович Куржанский)

Системный анализ - наука о применении математических методов и компьютерного моделирования к задачам принятия решений в условиях реально доступной информации. Эта наука создавалась для решения новых классов прикладных проблем - например, задач экологии, демографии, технологии, экономической динамики и анализа финансовых процессов, а также междисциплинарных задач (эколого-демографических, экономико-экологических, энергетических, биоматематических и т. д.)
     Кафедра создана в 1992 году в связи с интенсивным развитием системного анализа в последние годы и возрастающими потребностями в соответствующих специалистах. Обучение по данной специальности охватывает все этапы, связанные с решением задач до конца. Это включает выбор модели, ее идентификацию и подтверждение, анализ соответствующих математических задач, алгоритмизацию конструктивных методов их решения, вычислительный эксперимент с визуализацией и, наконец, построение компьютерной системы поддержки решений.
     Наряду с основными курсами факультета, студенты кафедры изучают разделы современного математического аппарата, такие как нелинейный анализ и исчисление многозначных функций, избранные главы теории дифференциальных уравнений, теория случайных процессов и динамическое программирование, статистические методы, многокритериальная и стохастическая оптимизация. Уделяется внимание дополнительному освоению студентами иностранных языков.
     Важным элементом обучения является изучение и передовых информационно-компьютерных технологий - современных операционных сред и программных средств, применений компьютерной графики.
     Кафедра имеет широкие международные связи. На ней ведется активная научная работа по новым задачам системного анализа.
     На кафедре работают профессора А.В. Арутюнов, А.С. Братусь, А.В. Лотов, В.Д. Фурасов, А.А. Шананин.

Для студентов кафедры читаются следующие курсы:

"Многозначный анализ." (А.В. Арутюнов)
Излагаются основы вычислительного анализа и теории двойственности. Строится теория дифференциальных включений. Излагается теория многозначных отображений: доказывается теоремы об измеримом выборе, непрерывном селекторе, теорема о неподвижной точке для многозначного отображения. Теоретический материал иллюстрируется на примерах прикладных задач.

"Динамические системы." (А.С. Братусь)
Изучаются общие свойства автономных динамических систем: лемма о выпрямлении векторного поля, теорема Лиувилля. первые интегралы. Доказывается теорема Пуанкаре-Бендиксона, вводятся индексы Пуанкаре и функция последования. Подробно изучается предельное поведение динамических систем. Классические уравнения Ван дер Поля исследуются при помощи методов малых возмущений консервативных систем, а также с помощью отображений Пуанкаре. Приводится теория Фоке-Ляпунова. Рассматриваются нормальные формы динамических систем в окрестности особых точек и доказывается теорема Андреева-Хопфа о бифуркации и рождении цикла на плоскости.

"Введение в биоматематику" (А.С. Братусь)
Изучаются дискретные и непрерывные модели динамики популяций. В основе рассмотрений лежит бифуркационный подход, когда наряду с фазовым портретом строится параметрический. В дискретном случае изучается бифуркация удвоения цикла и элементарная теория Файгенбаума. В непрерывном случае рассмотрены классические модели Лотка-Вольтера, а также их различные модификации, приводящие к появлению предельных циклов. Изучаются общее случаи взаимодействия трех видов. В качестве примера возможного сложного поведения системы в этом случае рассмотрен случай "циклического соревнования видов". Приведены необходимые и достаточные условия невырожденности системы типа Лотка-Вольтера в общем случае. Проанализированы общее репликаторные системы и случай гетероциклической репликации. Рассмотрены модели популяций с учетом возрастных распределений и биологические модели типа Лотка-Вольтера. Отдельно изучаются модели популяций с учетом пространственных распределений, уравнение Фишера-Колмогорова. В этом случае рассматривается решение типа бегущей волны.

"Обобщенные функции." (А.С. Братусь)
Рассматриваются обобщенные функции одной и нескольких переменных и действия над ними. Изучаются предельные преобразования Фурье и Лапласа и их свойства. С помощью полученных результатов строится фундаментальное решение и функции Грина в задаче Штурма-Лиувилля. Особое внимание уделено случаю, когда распределение сосредоточенно на гиперповерхности. В качестве приложения строится фундаментальное решение и функции Грина основных краевых задач для уравнений Лапласа и теплопроводности. Рассматривается свертка обобщенных функций и изучаются свойства сверхточной алгебры. Эти результаты применены к интегральным уравнениям.

"Динамическое программирование и процессы управления." (А.Б. Куржанский)
Рассматривается применение метода динамического программирования и теории уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана к задачам синтеза управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория рассматривается как в "классическом" так и в неклассическом, "негладком" варианте. Приводятся примеры линейных и нелинейных процессов. Рассматриваются системы с неопределенностью в задании дифференциальных уравнений, а также системы с неполной априорной и текущей информацией о процессе. Обсуждаются вычислительные методы решения и пути изображения решения при помощи средств компьютерной графики.

"Прикладные задачи системного анализа. Модели окружающей среды." 
(А.Б. Куржанский)
В данном курсе рассматриваются математические модели атмосферной диффузии. Обсуждаются задачи окружающей среды, моделируемые при помощи упомянутых уравнений. Рассматриваются математические постановки задач, мотивируемые проблемами экологического мониторинга. Приводятся как теоретические основы моделирования процессов окружающей среды, так и методы компьютерного моделирования решений, в частности, при помощи средств компьютерной графики.

"Основы многокритериальной оптимизации." (А.В. Лотов)
Излагаются основы многокритериальной оптимизации. Изучаются свойства эффективных множеств в задачах принятия решений при многих критериях. Рассматриваются задачи многокритериальной оптимизации для динамических систем. Особое внимание уделяется свойствам множества достижимости значений критериев.

"Компьютерные системы поддержки принятия решений." (А.В. Лотов)
Излагаются современные подходы к построению компьютерных систем поддержки принятия решений. Особое внимание уделяется поддержке принятия решений в случае нескольких критериев. Излагаются и сравниваются между собой наиболее известные многокритериальные методы, такие как методы, основанные на построении функции предпочтений, итерационные методы поиска предпочтительного решения, методы представления эффективного множества, в том числе метод достижимых целей.

"Стохастический анализ и моделирование." (С.Н. Смирнов)
Предполагается, что слушатель уже знаком с основами теории вероятностей. Одна из задач курса - систематизация знаний на основе теоретического фундамента - аксиоматики Колмогорова. Другая цель - построение прикладной интерпретации, включая метод статистического моделирования. Предлагается также задание для компьютерного практикума, иллюстрирующего курс и развивающего технику моделирования стохастических процессов.

"Элементы финансовой математики." (С.Н. Смирнов)
В настоящее время производные финансовые инструменты приобретают все возрастающее значение в операциях крупнейших международных банков. Необходимой теоретической базой  финансовой инженерии являются продвинутые математические модели для решения задач ценообразования, хеджирования и инвестирования. Курс построен на достижениях последних лет, таких как техника опционного разложения применительно к моделям финансовых рынков с дискретным временим.

"Методы идентификации." (В.Д. Фурасов)
Излагается теория гарантированной идентификации линейных и билинейных и нелинейных систем с дискретным временем. На основе методов теории экстремальных задач и аппарата информационных функций рассматриваются методы и алгоритмы построения информационных множеств. Основные положения теории иллюстрируются многочисленными примерами идентификации динамики процессов развития, процессов экономики и экологии.

"Математические модели в экономике." (А.А. Шананин)
Изучаются математические модели:
1) межотраслевого баланса и теория неотрицательных матриц;
2) экономическая интерпретация двойственности;
3) модели общего экономического равновесия.
Рассматриваются математические задачи, относящиеся к таким разделам, как: выпуклый анализ, теория многозначных отображений, теория неподвижных точек, постановки которых мотивируются экономическими приложениями.

"Практикум на ЭВМ"
Изучаются такие современные математические пакеты прикладных программ, как MATLAB 5.0 и MATEMATIKA 2.2, а также редактор LATEX и среда программирования DELPHI. С помощью этих средств студенты получают возможность создавать программные продукты, соответствующие современным стандартам. Компьютерные задания являются иллюстрациями теоретических курсов, читаемых на кафедре, что позволяет студентам лучше усвоить теоретический материал.