\section{Интерполяционная формула Ньютона}
		\begin{myUnnumberedDefinition}
			Назовем разделенной разностью первого порядка, построенной по узлам \(x_i\) и \(x_j\), следующее соотношение:
			\begin{equation}
				\label{eq_2_3_1}
				f(x_i, x_j) = \frac{f(x_j) - f(x_i)}{x_j - x_i}
			\end{equation}
			Разделенной разностью второго порядка по узлам \(x_{i-1}, x_i, x_{i+1}\) называется соотношение:
			\[
				f(x_{i-1}, x_i, x_{i+1}) = \frac{f(x_{i-1}, x_i) - f(x_i, x_{i+1})}{x_{i-1} - x_{i+1}}
			\]
			Аналогично определяем разделенную разность больших порядков.
		\end{myUnnumberedDefinition}
		\begin{myUnnumberedStatement}
			Разделенную разность \(k\)--го порядка можно представить в виде:
			\[
				f(x_0, x_1, \ldots, x_k) = \sum_{i=0}^k{\frac{f(x_i)}{\omega'_{0, k}(x_i)}}
			\]
			Причем запись \( \omega_{a, b}(x) \) означает:
			\[
				\omega_{a, b}(x) = (x - x_a)(x - x_{a+1})\cdot \ldots \cdot (x - x_b), a < b
			\]
		\end{myUnnumberedStatement}
		\begin{proof}
			Не ограничивая общности, будем рассматривать узлы с индексами \( 0..k, k \in \mathbf{N} \).
			Докажем утверждение по индукции.\\
			База:
			\[
				k=1: f(x_0, x_1) = \frac{f(x_0)}{x_0-x_1} + \frac{f(x_1)}{x_1-x_0} = 
			\]
			\[
				\frac{f(x_0)}{\omega'_{0, 1}(x_0)} + \frac{f(x_1)}{\omega'_{0, 1}(x_1)}
			\]
			Переход:
			\[
				k = l:
			\]
			\[
				f(x_0, \ldots, x_l) = \sum_{i=0}^l { \frac{f(x_i)}{\omega'_{0, l}(x_i)} }
			\]
			Покажем что \( f(x_0, \ldots, x_{l+1}) = \sum_{i=0}^{l+1} { \frac{f(x_i)}{\omega'_{0, l+1}(x_i)} } \) :
			\[
				f(x_0, \ldots, x_{l+1}) = \frac{f(x_1, \ldots, x_{l+1}) - f(x_0, \ldots, x_l)}{x_{l+1}-x_0} = 
			\]
			\[
				\frac{1}{x_{l+1}-x_0}( \sum_{i=1}^{l+1} { \frac{f(x_i)}{ \omega'_{1, l+1}(x_i) } } - 
				\sum_{i=0}^l { \frac{f(x_i)}{ \omega'_{0, l}(x_i) } }) = 
			\]
			\[
				\frac{1}{x_{l+1}-x_0}( \frac{f(x_{l+1})}{ \omega'_{1, l+1}(x_{l+1}) } - \frac{f(x_0)}{ \omega'_{0, l}(x_0) } +
				\sum_{i=1}^l { \frac{f(x_i)}{ \omega'_{1, l+1}(x_i) } - \frac{f(x_i)}{ \omega'_{0, l}(x_i) } } )
			\]
			Рассмотрим знаменатели слагаемых отдельно:
			\[
				(x_{l+1}-x_0) \omega'_{1, l+1}(x_{l+1}) = \omega'_{0, l+1}(x_{l+1})
			\]
			\[
				(x_{l+1}-x_0) \omega'_{0, l}(x_0) = - \omega'_{0, l+1}(x_0)
			\]
			\[
				 \frac{1}{ \omega'_{1, l+1}(x_i) } - \frac{1}{ \omega'_{0, l}(x_i) } = \frac{(x_i - x_0)}{ 
				 	\omega'_{0, l+1}(x_i) } - \frac{(x_i - x_{l+1})}{ \omega'_{0, l+1}(x_i) } = \frac{(x_{l+1} - x_0)}{ \omega'_{0, l+1}(x_i) }
			\]
			Подставив преобразованные слагаемые, получим:
			\[
				\frac{f(x_{0})}{ \omega'_{0, l+1}(x_{0}) } + \frac{f(x_{l+1})}{ \omega'_{0, l+1}(x_{l+1}) } +
				\sum_{i=1}^l { \frac{f(x_i)}{ \omega'_{0, l+1}(x_i) } }
			\]
			Что и требовалось доказать.
		\end{proof}
		\begin{myUnnumberedDefinition}
			Назовем интерполяционным полиномом Ньютона функции \( f(x) \) по узлам \( \{X_i\}_0^n \)
			полином степени \(n \):
			\begin{equation}
				\label{eq_2_3_2}
				N_n(x) = f(x_0) + (x - x_0)f(x_0, x_1) + \ldots + \Pi_{i=0}^{n-1}f(x_0,x_1,\ldots, x_n)(x - x_i)
			\end{equation}
		\end{myUnnumberedDefinition}
		Покажем, что \(N_n(x)\) интерполяционный полином:
		\[
			N_n(x_i) = f(x_0) + (x_i - x_0)f(x_0, x_1) + \ldots + \Pi_{i=0}^{i-1}f(x_0,x_1,\ldots, x_i)(x - x_i) + 0
		\]
		Эта сумма представляет собой разделенную разность порядка i, равную как раз \(f(x_i)\).
		\begin{myUnnumberedNote}
			Полученный полином -- тот же полином Лагранжа, только записанный в другой форме. \\
			Соответственно, его погрешность та же, что и у полинома Лагранжа.
		\end{myUnnumberedNote}
		Отличие полинома Ньютона от Лагранжа в том, что для увеличения точности \( N_n(x)\) надо только 
		добавить информацию о новых узлах и не надо пересчитывать значения для старых.
		\section{Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционная формула Эрмита}
		Пусть имеется m узлов: \(x_0, x_1, \ldots, x_m\), при этом \( a_k \in \mathbf{N}, k = \overline{0, m} \) -- 
		кратность каждого узла ( \( a_0 + \ldots a_m = n+1\), где n -- степень интерполирующего полинома ).
		\begin{myUnnumberedDefinition}
			Назовем интерполяционным полиномом Эрмита полином:
			\begin{equation}
				\label{eq_2_4_1}
				H_n(x) = \sum^{m}_{k=0}{\sum_{i=0}^{a_k-1}{c_{k, i}(x)f^{(i)}(x_k) }},
			\end{equation}
			где \(c_{k, i}(x)\) - полином \(n\)-й степени, коэффициенты которого находятся из условия:
			\[
				H^{(i)}_n(x_k) = f^{(i)}(x_k), k = \overline{0, n}, i = \overline{0, a_k-1}
			\]
		\end{myUnnumberedDefinition}
		Существование и единственность данного полинома очевидны, перейдем сразу к построению \(H_n(x)\).
		В общем случае выражение для полинома Эрмита достаточно громоздко, поэтому ограничимся рассмотрением 
		конкретной задачи: \\
		Построить \( H_3(x) = c_0(x)f(x_0) + c_1(x)f(x_1) + c_2(x)f(x_2) + b(x)f'(x_1) \). \\
		Запишем условия, при которых данный полином будет интерполяционным:
		\[
			c_0(x_0) = 1, c_1(x_0) = 0, c_2(x_0) = 0, b(x_0) = 0,
		\] 
		\[
			c_0(x_1) = 0, c_1(x_1) = 1, c_2(x_1) = 0, b(x_1) = 0,
		\] 
		\[
			c_0(x_2) = 0, c_1(x_2) = 0, c_2(x_2) = 1, b(x_2) = 0,
		\] 
		\[
			c_0'(x_1) = 0, c_1'(x_1) = 0, c_2'(x_1) = 0, b'(x_1) = 1.
		\] 
		Будем искать \( c_0(x)\) в виде \(k(x-x_1)^2(x-x_2), k \) выбираем из условия \(c_0(x_0) = 1\):
		\[
			1 = k(x_0-x_1)^2(x_0-x_2) \Longrightarrow c_0(x) = \frac{(x-x_1)^2(x-x_2)}{(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)}
		\]
		Аналогично получаем выражение для \( c_2(x) \):
		\[
			c_2(x) = \frac{(x-x_1)^2(x-x_0)}{(x_2-x_1)^2(x_2-x_0)}
		\]
		Теперь вычислим \( b(x) \):
		\[
			b_1(x) = k(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)
		\]
		\[
			b'_1(x_1) = k(x_1 - x_0)(x_1 - x_2) = 1
		\]
		Откуда получаем \( b_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_2)}(x-x_1) \).
		
		Далее пусть \(c_1(x) = (x-x_0)(x-x_2)(ax+b)\):
		\[
			c_1(x_1) = 1 = (x_1-x_0)(x_1-x_2)(ax_1+b)
		\]
		\[
			c_1'(x_1) = 0 = a(x_1-x_0)(x_1-x_2) + (ax_1+b)(2x_1-x_0-x_2)
		\]
		Из этих уравнений получаем:
		\[
			a = -\frac{(2x_1-x_0-x_2)}{{(x_1-x_0)}^2{(x_1-x_2)}^2}
		\]
		\[
			b = \frac{1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}[1 + \frac{x_1(2x_1-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}]
		\]
		Подставляя найденные выражения, имеем:
		\[
			H_3(x) = f(x_0) \cdot \frac{(x-x_1)^2(x-x_2)}{(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)} + f(x_1) \cdot 
			\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\cdot
		\]
		\[
			(1 + \frac{(x_1-x)(2x_1 - x_0 - x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}) + f(x_2) \cdot \frac{(x-x_1)^2(x-x_0)}
			{(x_2-x_1)^2(x_2-x_0)} + 
		\]
		\[
			f'(x_1) \cdot \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_2)}(x-x_1)
		\]
		\subsection{Погрешность полинома Эрмита}
		\[
			\psi_{H_3(x)} = f(x) - H_3(x)
		\]
		Введем функцию \( g(s) = f(s) - H_3(s) - k \omega(s) \), где \( k \) -- константа,
			\( \omega(s) = (x - x_0){(x - x_1)}^2(x - x_2) \). Константу \( k \) получаем из условия
			\( g(x) = 0:\)
		\[
			k = \frac{f(x) - H_3(x)}{\omega(x)}
		\]
		Далее для применения теоремы Ролля требуем \( \exists f^{(4)}(x) \in [a, b] \).
		Применив несколько раз теорему Ролля к g(s), получим:
		\[
			\exists \xi \in (a, b) : g^{(4)}(\xi) = 0,
		\]
		откуда и получем окончательную оценку
		\[
			f(x) - H_3(x) = \frac{f^{(4)}}{4!}\omega(x)
		\]