\myAddDate{23}{03}{09}
	
	Погрешность полинома Эрмита n-ой степени равна:
\[f(x) - H_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{a_0}(x-x_1)^{a_1}\dots(x-x_n)^{a_n}\]
\[a_0 + a_1 + \dots + a_n = n + 1\]
\begin{myUnnumberedTask}
	Пусть заданы узлы \(x_0, x_1, x_2, x_3\), причем \(x_3 \neq x_i, i = 0, 1, 2\), и значения функции f в этих узлах. Доказать, что \(\lim \limits_{x_3 \rightarrow x_1} L_3(x) = H_3(x)\).
\end{myUnnumberedTask}
\begin{proof}
	Рассмотрим полином Лагранжа для функции f:
\[L_3(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3)}f(x_0) + \dots\]
	При \(x_3 \rightarrow x_1\):
\[L_3(x) \rightarrow \frac{(x - x_1)^2(x - x_2)}{(x_0 - x_1)^2(x_0 - x_2)}f(x_0) + \dots = H_3(x)\]
\end{proof}
\section{Использование полинома Эрмита третьей степени для получения точной оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона}
	Рассмотрим квадратурную формулу Симпсона для \(\int \limits_a^b f(x)dx\) на отрезке \([a, b]\) с разбиением на частичные отрезки \([x_{i-1}, x_i]\), \(x_i - x_{i-1} = h\), объединение которых дает \([a, b]\). На i-ом частичном отрезке имеем:
\[\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx = \frac{h}{6}(f_{i-1} + 4f_{i-\frac{1}{2}} + f_i)\]
\[f_i = f(x_i), f_{i - \frac{1}{2}} = f\left(x_i - \frac{h}{2}\right)\]
	Если \(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2\), то квадратурная формула Симпсона точна (по построению). Формула Симпсона будет точна и для кубических многочленов (\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\)). Чтобы показать это, найдем \(\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}x^3dx\):
\[\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}x^3dx = \frac{1}{4}(x_i^4 - x_{i-1}^4) = \frac{1}{4}(x_i^2 - x_{i-1}^2)(x_i^2 + x_{i-1}^2) = \frac{h}{4}(x_i + x_{i-1})(x_i^2 + x_{i-1}^2)\]
	Теперь запишем формулу Симпсона для \(\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}x^3dx\) и преобразуем ее:
\[\frac{h}{6}\left(x_{i-1}^3 + 4x_{i - \frac{1}{2}}^3 + x_i^3\right) = \frac{h}{6}\left(x_i^3 + x_{i-1}^3 + 4\frac{(x_i + x_{i-1})^3}{2^3}\right) = \]
\[= \frac{h}{6}(x_i + x_{i-1})(x_i^2 - x_ix_{i-1} + x_{i-1}^2 + \frac{x_i^2 + 2x_ix_{i-1} + x_{i-1}^2}{2})\]
\[= \frac{h}{6}(x_i + x_{i-1})\left(\frac{3x_i^2 + 3x_{i-1}^2}{2}\right) = \frac{h}{4}(x_i + x_{i-1})(x_i^2 + x_{i-1}^2)\]
	Таким образом, мы показали, что формула Симпсона точна и для многочленов третьей степени.

	Приблизим подынтегральную функцию \(f(x)\) полиномом Эрмита \(H_3(x)\): 
\[H_3(x_{i-1}) = f_{i-1}\]
\[H_3(x_{i-\frac{1}{2}}) = f_{i-\frac{1}{2}}\]
\[H_3(x_i) = f_i\]
\[H_3'(x_{i-\frac{1}{2}}) = f'_{i-\frac{1}{2}}\]
\[f(x) = H_3(x) + \psi_{H_3}(x)\]
\[\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx = \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}H_3(x)dx + \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}\psi_{H_3}(x)dx = \]
\[= \frac{h}{6}(H_3(x_{i-1}) + 4H_3(x_{i-\frac{1}{2}}) + H_3(x_i)) + \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}\psi_{H_3}(x)dx = \]
\[= \frac{h}{6}(f_{i-1} + 4f_{i-\frac{1}{2}} + f_i) + \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}\psi_{H_3}(x)dx\]
	Найдем погрешность на i-ом частичном отрезке:
\[\psi_i = \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx - \frac{h}{6}(f_{i-1} + 4f_{i-\frac{1}{2}} + f_i) = \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}\psi_{H_3}(x)dx\]
	Погрешность для полинома Эрмита имеет вид:
\[\psi_{H_3}(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x - x_{i-1})(x - x_{i-\frac{1}{2}})^2(x - x_i)\]
	Пусть \(M_4 = \sup \limits_{\xi \in [x_{i-1}, x_i]} |f^{(4)}(\xi)|\), тогда справедлива оценка:
\[|\psi_{H_3}(x)| \leq \frac{M_4}{4!} \int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}(x - x_{i-1})(x - x_{i-\frac{1}{2}})^2(x_i - x)dx = O(h^5)\]
\begin{myUnnumberedTask}
Доказать, что \(\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}(x - x_{i-1})(x - x_{i-\frac{1}{2}})^2(x_i - x)dx = \frac{h^5}{120}\).
\end{myUnnumberedTask}
\begin{proof}
Проведем замену в подынтегральном выражении:
\[x = x_{i-1} + th, \quad  0 \leq t \leq 1\]
Тогда:
\[dx = hdt\]
\[x - x_{i-1} = th\]
\[x_i - x = h(1 - t)\]
\[(x - x_{i - \frac{1}{2}})^2 = h^2(t - \frac{1}{2})^2\]
Таким образом, требуемый интеграл легко вычислить:
\[\int \limits_{x_{i-1}}^{x_i}(x - x_{i-1})(x - x_{i-\frac{1}{2}})^2(x_i - x)dx =\]
\[= h^5 \int \limits_0^1 t\left(1-t\right)\left(t - \frac{1}{2}\right)^2dt = h^5 \int \limits_0^1 \left(2t^3 - \frac{5}{4}t^2 - t^4 + \frac{t}{4}\right)dt = \frac{h^5}{120} \]
\end{proof}
Теперь мы можем оценить погрешность на всем отрезке \([a, b]\):
\[\Psi = \sum \limits_{i=1}^n \psi_i(h)\]
\[|\Psi| \leq \frac{M_4}{4!}\frac{h^5n}{120}\]
Учтем, что \(hn = b - a\):
\[|\Psi| \leq \frac{M_4}{4!}\frac{h^4(b-a)}{120} = \left(\frac{h}{2}\right)^4\frac{M_4(b-a)}{180}\]
\begin{myUnnumberedNote}
	Если подынтегральную функцию заменить соответствующим полиномом Лагранжа, то погрешность 
	квадратурной формулы Симпсона увеличится.
\end{myUnnumberedNote}

\section{Наилучшее среднеквадратичное приближение функции}
\begin{myUnnumberedDefinition}
Функция f(x) называется интегрируемой с квадратом на отрезке [a, b], если \(\int \limits_a^b f^2(x)dx < \infty\).
\end{myUnnumberedDefinition}
Рассмотрим линейное пространство \(H = L_2\) функций, интегрируемых с квадратом на отрезке \([a, b]\). Введем скалярное произведение функций f(x) и g(x) (\(f, g \in L_2\)):
\[(f, g) = \int \limits_a^b f(x)g(x)dx\]
Теперь определим норму:
\[||f|| = (f, f)^{\frac{1}{2}} = (\int \limits_a^b f^2(x)dx)^{\frac{1}{2}}\]
Рассмотрим совокупность функций:
\begin{equation}
	\label{eq_2_7_1}
	\phi_0(x), \phi_1(x), \dots, \phi_n(x) \text{ --- ЛНЗ и интегрируемые с квадратом}, \phi_i \in L_2
\end{equation} 
Рассмотрим обобщенный многочлен:
\begin{equation}
	\label{eq_2_7_2}
	\phi(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n}C_k\phi_k(x), \quad C_k \text{ --- числа}
\end{equation}
Среди всех обобщенных многочленов нам необходимо найти обобщенный многочлен \(\overline{\phi(x)}\), такой что:
\[||f(x) - \overline{\phi(x)}|| = \min \limits_{\phi \in L_2} ||f(x) - \phi(x)|| =\]
\[= \min \limits_{\phi \in L_2} \left(\int \limits_a^b \left(f(x) -  \sum \limits_{k = 0}^{n}C_k\phi_k(x)\right)^2dx\right)^{\frac{1}{2}}\]
Обобщенный многочлен \(\overline{\phi(x)}\) называется наилучшим среднеквадратичным приближением функции f(x). Покажем, что оно существует и единственно.
\begin{myUnnumberedStatement}
Наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно.
\end{myUnnumberedStatement}
\begin{proof}
Рассмотрим сначала случай \(n = 0\):
\[\phi_0(x) \in L_2, \phi(x) = C_0\phi_0(x)\]
Введем функцию \(F(C_0)\):
\[F(C_0) = ||f - \phi(x)||^2 = \int \limits_a^b (f(x) - \phi(x))^2dx = \]
\[= \int \limits_a^b f^2(x)dx - 2C_0 \int \limits_a^b f(x)\phi_0(x)dx + C_0^2\int \limits_a^b \phi_0^2(x)dx =\]
\[= (f, f) - 2C_0(f, \phi_0) + C_0^2(\phi_0, \phi_0)\]
Необходимое условие минимума для функции F:
\[\frac{dF}{dC_0} = 0\]
Минимум этой функции по переменной \(C_0\) находится в вершине параболы:
\[\overline{C_0} = \frac{(f, \phi_0)}{(\phi_0, \phi_0)}\]
Таким образом:
\[\overline{\phi(x)} = \overline{C_0}\phi_0(x)\]
Рассмотрим пример. Пусть \(\phi_0(x) = 1\), тогда:
\[\overline{C_0} = \frac{\int \limits_a^b f(x)dx}{\int \limits_a^b dx} = \frac{1}{b - a} \int \limits_a^b f(x)dx\]
\[\overline{\phi(x)} = \frac{1}{b - a}\int \limits_a^b f(x)dx\]
Получили среднее значение функции \(f(x)\) на \([a, b]\).

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть задана система функций \eqref{eq_2_7_1}. Введем функцию \(F(C_0, C_1, \dots, C_n)\):
\[F(C_0, C_1, \dots, C_n) = ||f - \phi(x)||^2 = \int \limits_a^b \left(f(x) -  \sum \limits_{k = 0}^{n}C_k\phi_k(x)\right)^2dx =\]
\[= \int \limits_a^b f^2(x)dx - 2\sum \limits_{k = 0}^nC_k\int \limits_a^b f(x)\phi_0(x)dx + \sum \limits_{k = 0}^nC_k\sum \limits_{l = 0}^nC_l\int \limits_a^b \phi_0^2(x)dx =\] 
\[= (f, f) - 2\sum \limits_{k = 0}^nC_k(f, \phi_k) + \sum \limits_{k = 0}^nC_k\sum \limits_{l = 0}^nC_l(\phi_k, \phi_l)\]
Запишем необходимое условие минимума для функции F:
\[\frac{\partial F(C_0, C_1, \dots, C_n)}{\partial C_k} = 0, \quad k = 0, 1, \dots, n\]
Тогда получим систему уравнений для нахождения коэффициентов \(C_i\)
\begin{equation}
	\label{eq_2_7_3}
	\sum \limits_{l = 0}^n C_l(\phi_k, \phi_l) = (f, \phi_k), \quad k = 0, 1, \dots, n 
\end{equation}
Матрицей этой системы является матрица Грама:
\[ G =
 		\begin{pmatrix}
			(\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & \cdots & (\phi_0, \phi_n)\\
			(\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & \cdots & (\phi_1, \phi_n)\\
			\vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\
			(\phi_0, \phi_n) & (\phi_1, \phi_n) & \cdots & (\phi_n, \phi_n)
		\end{pmatrix} \]
Так как система функций \eqref{eq_2_7_1} линейно независима, то определитель Грама \(det G \neq 0\), а значит наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно (можно однозначно найти коэффициенты \(C_i\)).
\end{proof}
\begin{myUnnumberedNote}
Если система функций \eqref{eq_2_7_1} - ортонормированная, то есть \((\phi_k, \phi_l) = \delta_{kl}\), то \(C_k = (f, \phi_k)\) - коэффициенты Фурье.
\end{myUnnumberedNote}
\begin{myUnnumberedNote}
Пусть задана система функций:
\[1, x, x^2 \dots, x^n\]
Пусть \(\rho(x) > 0\) - весовая функция.
\[\int \limits_{\alpha}^{\beta} \rho(x)\phi_k(x)\phi_l(x)dx = 0\]
Выбирая \(\rho(x), \alpha, \beta\) можно получить ортогональные многочлены.
\end{myUnnumberedNote}
