%Лекция 14 by wictor
\myAddDate{31}{03}{09}
	\subsection{Явная разностная схема}
	Запишем рассматриваемую задачу:
	\begin{equation}
    \label{eq_4_1_1_1}
    	\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
    	f(x,t),\quad 0<x<1,\quad 0<t\leq T,
	\end{equation}
	краевые условия:
	\begin{equation}
    \begin{cases}
    \label{eq_4_1_1_2}
    	u(0,t) = \mu_1(t), \\
    	u(1,t) = \mu_2(t),
    \end{cases}
	\end{equation}
	начальное условие:
	\begin{equation}
    \label{eq_4_1_1_3}
    	u(x, 0) = u_0(x).
	\end{equation}


	Разностный аналог задачи \eqref{eq_4_1_1_1} -- \eqref{eq_4_1_1_3} имеет вид:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_4}
		\frac{y_i^{n+1} - y_i^n}{\tau} = \frac{y_{i-1}^n - 2y_i^n + y_{i+1}^n}{h^2} +
		f(x_i, t_n),\quad (x_i, t_n) \in \omega_{\tau h},
	\end{equation}

	\begin{equation}
    \begin{cases}
    \label{eq_4_1_1_5}
    	y_0^{n+1} = \mu_1(t_{n+1}), \quad t_{n+1} \in \overline{\omega}_\tau, \\
    	y_N^{n+1} = \mu_2(t_{n+1}), \quad t_{n+1} \in \overline{\omega}_\tau,
    \end{cases}
	\end{equation}

	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_6}
		y_i^0 = u_0(x_i), \quad x_i \in \omov{h}.
	\end{equation}
	
	Множество узлов $\{ (x_i, t_n), \, i = 0,\ldots,N \}$ называется $n$-м слоем.
	
	При изучении разностных схем возникают следующие вопросы:
	\begin{enumerate}
      \item Существование и единственность решения
      \item Погрешность аппроксимации разностной схемы
      \item Алгоритм нахождения численного решения
      \item Исследование устойчивости разностной схемы
      \item Оценка скорости сходимости разностной схемы
    \end{enumerate}
    
    Ответим на вопросы 1 и 3 для явной разностной схемы. Перепишем
    \eqref{eq_4_1_1_4} в виде
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_7}
		y_i^{n+1} = y_i^n + \frac{\tau}{h^2}(y_{i-1}^n - 2y_i^n + y_{i+1}^n)+\tau
		f_i^n, \quad i = 1, \ldots, N-1.
	\end{equation}

	Значения $y$ в граничных узлах ($ i=0, \, i=N $) заданы формулами \eqref{eq_4_1_1_5}.
	Значения $y$ при $n=0$ --- формулой \eqref{eq_4_1_1_6}. Таким образом, решение
	явной разностной схемы существует и единственно и выписан алгоритм его нахождения.
	Задача решается по слоям, т.е. значения на $(n+1)$-м слое находятся по явной
	формуле по известным значениям на $n$-м слое.
	
	Определим погрешность разностной схемы $z_i^n$ так:
	$$ z_i^n = y_i^n - u_i^n. $$
	
	Введем функцию $\psi_i^n$ так:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_8}
		\psi_i^n = \frac{u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n}{h^2} - \frac{u_i^{n+1} -
		u_i^n}{\tau} + f_i^n.
	\end{equation}
		
	Тогда \eqref{eq_4_1_1_4} можно переписать следующим образом:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_9}
		\frac{z_i^{n+1} - z_i^n}{\tau} = \frac{z_{i-1}^n - 2z_i^n + z_{i+1}^n}{h^2} +
		\psi_i^n, \quad (x_i, t_n) \in \om{\tau h}.
	\end{equation}

	\begin{myUnnumberedDefinition}
    	Функция $\psi_i^n$, определяемая равенством \eqref{eq_4_1_1_8}, называется
    	погрешностью аппроксимации разностной схемы \eqref{eq_4_1_1_4} ---
    	\eqref{eq_4_1_1_6} на решение задачи \eqref{eq_4_1_1_1} ---
    	\eqref{eq_4_1_1_3}.
    \end{myUnnumberedDefinition}

	\begin{myUnnumberedTask}
    	Доказать, что  $ \psi_i^n = O(\tau + h^2). $  
    \end{myUnnumberedTask}
	
	\begin{proof}[Решение]
    	Разложим $u(x_i, t_{n+1})$ в узле $(x_i, t_n)$ по формуле Тейлора:
    	
    	$$ u(x_i, t_{n+1}) = u_i^{n+1} = u(x_i, t_n) +u_t(x_i, t_n)\tau + O(\tau^2). $$
    	
    	Разложим $u(x_{i+1}, t_n)$ в узле $(x_i, t_n)$ по формуле Тейлора:
    	$$ u(x_{i+1}, t_n) = u_{i+1}^n =u(x_i, t_n) + u_x(x_i, t_n)h + \frac{1}{2} u_{xx}(x_i, t_n) h^2  + \frac{1}{6} u_{xxx}(x_i, t_n) 		h^3 +   O(h^4). $$
    	
    	Разложим $u(x_{i-1}, t_n)$ в узле $(x_i, t_n)$ по формуле Тейлора:
    	$$ u(x_{i-1}, t_n) = u_{i+1}^n =u(x_i, t_n) - u_x(x_i, t_n)h + \frac{1}{2} u_{xx}(x_i, t_n) h^2  - \frac{1}{6} u_{xxx}(x_i, t_n) 		h^3  +   O(h^4). $$

 		Подставив выписанные разложения в \eqref{eq_4_1_1_8}, приведя подобные члены и воспользовавшись \eqref{eq_4_1_1_1},
 		получим
 		$$ \psi_i^n = O(\tau + h^2). $$
    \end{proof}
	
	Краевые условия для $z$ имеют вид:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_10}
	z_0^{n+1} = z_N^{n+1}=0, \quad t_{n+1} = \omov{\tau}.
	\end{equation}

	А начальное условие для $z$:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_11}
		z_i^{0} = 0, \quad x_{i} = \omov{h}.
	\end{equation}
	
	Введем норму на слое:
	$$ \| y^n  \|_C = \max_{0 \leq i \leq N}|y_i^n|. $$
	
	Введенная таким образом норма называется равномерной (сильной).
	
	Выразим $z_i^{n+1}$ в формуле \eqref{eq_4_1_1_9}:
	$$ z_i^{n+1} = z_i^n + \frac{\tau}{h^2} (z_{i-1}^n - 2z_i^n + z_{i+1}^n) + \tau
	\psi_i^n.	$$
	
	Потребуем выполнения следующего условия:
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_12}
		\frac{\tau}{h^2} = \gamma \leq \frac{1}{2}.
	\end{equation}
	
	Если разностная схема сходится при ограничении на шаги сетки, то такая
	разностная схема называется условно сходящейся. Если сходимость разностной
	схемы не зависит от шагов сетки, то разностная схема называется абсолютно
	сходящейся.
	
	Докажем, что условие \eqref{eq_4_1_1_12} является необходимым и достаточным для 
	сходимости (и устойчивости) явной разностной схемы.
	
	Докажем достаточность условия \eqref{eq_4_1_1_12}. Пусть это условие выполнено. Тогда
	$$ z_i^{n+1} = (1-2\gamma)z_i^n + \gamma (z_{i-1}^n + z_{i+1}^n) + \tau
	\psi_i^n, $$
	$$ |z_i^{n+1}| \leq (1-2\gamma)|z_i^n| + \gamma ( |z_{i-1}^n| + |z_{i+1}^n| ) +
 	\tau \psi_i^n,	$$
	$$ |z_i^{n+1}| \leq (1-2\gamma)\|z^n\|_C + \gamma ( \|z^n\|_c + \|z^n\|_C )
	+ \tau \|\psi^n\|_C, $$
 	$$ |z_i^{n+1}| \leq \|z^n\|_C + \tau \|\psi^n\|_C, $$
 	поскольку это выполняется для всех $i$, то
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_13} 	
 		\|z^{n+1}\|_C \leq \|z^n\|_C + \tau \|\psi^n\|_C.
	\end{equation}

	Применяя формулу \eqref{eq_4_1_1_13} как рекуррентную, получим
	$$ \|z^{n+1}\|_C \leq \|z^{0}\|_C +\tau \sum \limits_{k=0}^n \| \psi^k \|_C, $$
	поскольку $\|z^0\|_C = 0,$ то
	$$ \|z^{n+1}\|_C \leq \tau \sum \limits_{k=0}^n \| \psi^k \|_C. $$
	
	Т.к. $ \psi_i^n = O(\tau + h^2), $ то $\exists\, M>0 : \quad \| \psi^n \|_C
	\leq M(\tau + h^2),\, M$ не зависит от $\tau$ и $h$. 
	
	Учитывая, что $ \sum \limits_{k=0}^n \tau = t^{n+1} \leq T, $ имеем
	$$ \|z^{n+1}\|_C \leq MT(\tau + h^2) = M_1 (\tau + h^2). $$
	При этом, $M_1$ не зависит от $\tau$ и $h$.
	
	
	Мы получили априорную оценку
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_14} 	
 		\|z^{n+1}\|_C \leq M_1 (\tau + h^2).
	\end{equation}
	
	Из полученной оценки следует, что $$ \tau, h \rightarrow 0 \: \Rightarrow \:
	\|z^{n+1}\|_{С} \rightarrow 0, \, \text{т.е. } \| y^{n+1} - u^{n+1} \|_{С} \rightarrow
	0. $$
	
	Таким образом, имеет место сходимость чилсенного решения к решению исходной
	задачи.
	
	Несколько слов об устойчивости.
	
	Пусть $ y(0, t) = y(1, t) = 0.$ Тогда, проведя рассуждения, аналогичным описанным
	выше, имеем
	$$ \| y^{n+1} \|_C \leq \| y_0 \|_C + \sum \limits_{k=0}^n \tau \| f^k \|_C, $$
	
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_15} 	
 		\| y^{n+1} \|_C \leq \| y_0 \|_C + \tau \sum \limits_{k=0}^n \| f^k \|_C.
	\end{equation}
	
	Разностную схему, в которой выполняется \eqref{eq_4_1_1_15}, называют устойчивой по начальному условию и правой части. Таким образом, явная
	разностная схема устойчива по начальному условию и правой части
	при выполнении условия \eqref{eq_4_1_1_12}. 
	
	Докажем, что условие \eqref{eq_4_1_1_12} является необходимым для сходимости
	явной разностной схемы. Рассмотрим однородную систему
		
	\begin{equation}
	\label{eq_4_1_1_16}
		\frac{y_i^{n+1} - y_i^n}{\tau} = \frac{y_{i-1}^n - 2y_i^n +
		y_{i+1}^n}{h^2},\quad (x_i, t_n) \in \omega_{\tau h}.
	\end{equation}

	Будем искать ее решение в виде $ y_j^n = q^n e^{ijh \phi}, $ где $ i^2 =
	-1,\, \phi \in \mathbb{R},\, q \in \mathbb{C}.$
	Подставим это в уравнение \eqref{eq_4_1_1_16}. Получим
	$$ q = 1 + \gamma (e^{ih \phi} -2 + e^{-ih \phi}) = 1 + \gamma (2 \cos h \phi
	- 2) = 1 - 4 \gamma \sin^2 \frac{h\phi}{2}. $$
	
	Если взять $\phi$ такое, что $|q|>1$, т.е. $\gamma > \frac{1}{2},$ то гармоники
	будут неограниченно возрастать и разностная схема будет расходиться. 
	
	Таким образом, условие \eqref{eq_4_1_1_12} является необходимым и достаточным
	для сходимости и устойчивости явной разностной схемы.
	