    \myAddDate{10}{04}{09}
    
    \[ \frac{c_k(t_{n+1}) - c_k(t_n)}{\tau} + 0,5\lambda_k(c_k(t_{n+1}) +
    c_k(t_n))= \psi^{(k)}(t_n)
    \]
    
    \[ n=0,1,\ldots, ~ k=\overline{1,N-1}, ~ c_k(0) = (r(0), \mu_k)=0\]
    
    
    Разрешим уравнение относительно (n+1)-го слоя.
    
    \[ c_k(t_{n+1}) = \frac{1-0,5\tau \lambda_k}{1+0,5\tau \lambda_k}c_k(t_n)+
       \frac{\tau}{1+0,5\tau \lambda_k}\psi^{(k)}(t_n) 
    \]
    
    Положим \( q_k =  \frac{1-0,5\tau \lambda_k}{1+0,5\tau \lambda_k} \)
    
    \[ c_k(t_{n+1}) = q_kc_k(t_k) + \frac{\tau}{1+0,5\tau
    \lambda_k}\psi^{(k)}(t_n)
    \]
    
    Тогда:
    
    \[ z_i^{n+1} = \sum_{k=1}^{N-1}c_k(t_{n+1})\mu^{(k)}(x_i) = \]
 	 \[ \sum_{k=1}^{N-1}q_kc_k(t_n)\mu^k(x_i) + \sum_{k=1}^{N-1}\frac{\tau}{1+0.5\tau \lambda_k} \psi^k(t_n) \mu^k(x_i) = v_i^{n+1} + w_i^{n+1}\]
    
	Очевидно,
\begin{equation}
	\label{eq_4_3_9}
	\| z^{n+1}\| \leq \|v^{n+1}\| + \|w^{n+1}\|
\end{equation}

Оценим \(\|v^{n+1}\|\), используя равенство Парсеваля.

\begin{equation}
	\label{eq_4_3_10}
	|q_k| < 1 \Rightarrow  \|v^{n+1}\|^2 = \sum_{k=1}^{N-1}q^2_kc^2_k(t_n) \leq 	\sum_{k=1}^{N-1}c^2_k(t_n) = \|z^n\|^2
\end{equation}

Аналогично,

\begin{equation}
	\label{eq_4_3_11}
	\|w^{n+1}\|^2 \leq \tau^2 \| \psi^n \|^2
\end{equation} 

Учитывая \eqref{eq_4_3_10} и \eqref{eq_4_3_11} неравенство \eqref{eq_4_3_9} примет вид:

\[ \|z^{n+1}\| \leq \|z^n\| + \tau\|\psi^n\| \leq \|z^0\| + \sum_{k=1}^{N-1} \tau \|\psi^k\| \]

Из ранее решенной задачи: \( \|\psi^k\| \leq M(\tau^2 + h^2) \Rightarrow\)

\begin{equation}
	\label{eq_4_3_12}
	\|z^{n+1}\| \leq MT(\tau^2 + h^2) \rightarrow 0 \mbox{ при } \tau,h \rightarrow 0, \quad 0<M=const 
\end{equation}

где \(M\) и \(T\) не зависят от \(\tau\) и \(h\). 

%\begin{myUnnumberedNote}
%	Если рассматривать разностную схему с однородными краевыми условиями, то проводя аналогичные рассуждения, можно получить оценку
%\[ \|y^{n+1}\| \leq \|u_0\| + \sum_{k=1}^{N-1}\tau\|f^k\| \]
%
%\end{myUnnumberedNote}

\subsection{Разностная схема с весами. Погрешность аппроксимации.}

Построим для задачи \eqref{eq_4_1_1} разностную схему:

\begin{equation}
 \label{eq_4_4_1}
 \frac{y_i^{n+1} - y_i^n}{\tau} = \sigma y_{ \overline{x}x,i }^{n+1} +
 (1-\sigma)y_{ \overline{x}x,i }^{n} + \phi_i^n \in \omega_{\tau h} 
\end{equation}

\[ y^{n+1}_0 = \mu_1(t_{n+1}), ~ t_{n+1} \in \overline{\omega_{\tau}} \]
\[ y^{n+1}_N = \mu_2(t_{n+1}), ~ t_{n+1} \in \overline{\omega_{\tau}} \]
\[ y_i^0 = u_0(x_i), ~ x_i \in \overline{\omega_{h}} \]

\[ \sigma \in \mathbb{R}, \quad 0 \leq \sigma \leq 1 \]

Для различных \(\sigma\) получаем:

\begin{enumerate}
	\item \( \sigma = 0\) - явная разностная схема.
	\item  \( \sigma = 1\) - чисто неявная разностная схема.
   \item \( \sigma = 0.5\) - симметричная разностная схема.
	\item \( \sigma \neq 0,~1,~0.5 \) - неявная разностная схема.
\end{enumerate}

Введем погрешность \( z_i^n = y_i^n - u_i^n\).

\[ \frac{z_i^{n+1} - z_i^{n}}{\tau} = \sigma z^{n+1}_{\overline{x}x,i} + (1-\sigma)z^n_{\overline{x}x,i} + \psi_i^n\] 
\[z_0^{n+1} = z_N^{n+1} = z_i^0 = 0\]

Погрешность аппроксимации разностной схемы \( \eqref{eq_4_4_1} \) на решении:

\begin{equation}
	\label{eq_4_4_2}
	\psi_i^n = \sigma u^{n+1}_{\overline{x}x,i} + (1-\sigma)u^n_{\overline{x}x,i} - \frac{u^{n+1}_i - u_i^n}{\tau} + \phi_i^n
\end{equation}

Обозначим \( u' = \frac{ \partial u }{ \partial x},
 \dot{u} = \frac{ \partial u }{ \partial t} \). Пусть функция \( u(x,t) \) шесть раз непрерывно дифференцируема по x и три раза по t. Разложим ее по формуле Тейлора в окрестности точки \( ( x_i, t_{n+\frac{1}{2}} ) \):

\[ u_{i+1} = u_i + hu_i' + \frac{h^2}{2}u_i'' + \frac{h^3}{6}u_i''' + \frac{h^4}{24}u_i'''' + \ldots \]
\[ u_{i-1} = u_i - hu_i' + \frac{h^2}{2}u_i'' - \frac{h^3}{6}u_i''' + \frac{h^4}{24}u_i'''' + \ldots \]

\[ u_i^{n+1} = u_i(t_{n+\frac{1}{2}}) +
 \frac{\tau}{2} \dot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) +
 \frac{\tau^2}{8}\ddot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) +
 \frac{\tau^3}{48}\ddot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) + \ldots \]

\[  u_i^{n} = u_i(t_{n+\frac{1}{2}}) -
 \frac{\tau}{2} \dot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) +
 \frac{\tau^2}{8}\ddot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) -
 \frac{\tau^3}{48}\ddot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}}) + \ldots \]

\[ u_{ \overline{x}x,i } = \frac{u_{i+1}-2u_i + u_{i-1}}{h^2} = u_i'' + \frac{h^2}{12}u_i'''' + O(h^4) \]

\[ \frac{u_i^{n+1}}{\tau} = \dot{u}_i(t_{n+\frac{1}{2}} + O(\tau^2) \]

Воспользуемся неравенством \( \tau h^2 \leq \frac{\tau^2 + h^4}{2} \):

\[ \psi_i'' = \sigma(u_i'' + \frac{\tau}{2}\dot{u}_i'' + \frac{h^2}{12}u_i'''' + O(h^4) + O(\tau^2) ) + \]
\[ (1-\sigma)(u_i'' - \frac{\tau}{2}\dot{u}_i'' + \frac{h^2}{12}u_i'''' + O(h^4) + O(\tau^2) ) - \]
\[ \dot(u)_i + \phi^n_i + O(\tau^2 + h^4) = \]
\[ (u_i'' - \dot{u}_i + \phi^n_i) + (\sigma - 0.5)\tau\dot{u}'' + \frac{h^2}{12}u_i'''' + O(\tau^2 + h^4) \]

Продиффиренцировав уравнение \( u'' - \dot{u} + f =0 \) дважды по x, получим:

\[ u'''' - \dot{u}'' + f'' = 0 \Rightarrow u'''' = \dot{u}'' + f'' \]

Подставим \( u_i'''' \) в формулу погрешности аппроксимации:

\[ \psi_i^n = 
	\underbrace{u_i'' - 
\dot{u}_i + 
f(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}} ) }_{=0}
 - \frac{h^2}{12}f''(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}}) + \phi_i - f(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}}) + \]\[\Bigl( (\sigma - 0.5)\tau + \frac{h^2}{12} \Bigr)\dot{u}'' + O(t^2 + h^4) \]

Таким образом, порядок погрешности аппроксимации зависит от параметра \( \sigma \) и аппроксимации функции f:

\begin{enumerate}
	\item \( \sigma = \sigma^* = \frac{1}{2} - \frac{h^2}{12\tau} \Rightarrow \) \[ \phi_i^n = f(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}}) + \frac{h^2}{12}f''(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}}) \] \[  \psi_i^n = O(\tau^2 + h^4) \]
	\item \( \sigma = 0.5 \Rightarrow \) \[ \phi_i^n = f(x_i, t_{ n + \frac{1}{2}}) + O(h^2) +O(\tau^2) \] \[ \psi_i^n = O(\tau^2 + h^2) \]
	\item \( \sigma \neq \sigma^*, ~ \sigma \neq 0.5  \Rightarrow \phi_i^n = f(x_i, t_n) + O(\tau + h^2) \Rightarrow \psi_i^n = O(\tau + h^2)\)
\end{enumerate}