\begin{equation}
		\label{eq_1_22_1}
			\frac{d \overline{u}}{dt} + A \overline{u}(t) = 0,\quad t > 0
	\end{equation}
	\( A(m \cdot m) \) с постоянными числами,
	\( \overline{u}^{(t)} = (u_1(t), u_2(t), \ldots ,u_m(t))^T \).
	
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Система линейных уравнений называется жесткой, если:
		\begin{enumerate}
			\item \(Re \, \lambda_k^A > 0 \) (устойчивость по Ляпунову),
			\item \( s = \frac{max_{1\leq k\leq m}|Re \, \lambda_k^A|}{min_{1\leq k\leq m}|Re \, \lambda_k^A|} >> 1 \) (s -- число жесткости).
		\end{enumerate}
	\end{myUnnumberedDefinition}
	Введем понятие жесткости для нелинейной системы:
	\begin{equation}
		\label{eq_1_22_2}
		\frac{d \overline{u}}{dt} = f(t,  \overline{u}(t)), t > 0
	\end{equation}		
	\[\overline{u}(0) = \overline{u}_0\]

	Пусть \(v(t)\) -- некоторое решение задачи \eqref{eq_1_22_2}, тогда рассмотрим в окрестности данного решения разность:
	\[
		\overline{z}(t) = \overline{u}(t) - \overline{v}(t)
	\]
	\[
		\frac{d \overline{z_k}}{dt} = f_k(t,  \overline{v}(t) + \overline{z}(t)) - f_k(t,  \overline{v}(t)), k = \overline{1, m}
	\]
	Разложим \( f_k(t,  \overline{v}(t) + \overline{z}(t)) \) в окрестности точки \( (t,  \overline{v}(t))\), удерживая 
	только первую производную:
	\[
		f_k(t, \overline{v}(t) + \overline{z}(t)) =  f_k(t, \overline{v}(t)) + 
			\frac{\partial f_k}{\partial u_1}(t, \overline{v}(t)) z_1(t) + \ldots
			\frac{\partial f_k}{\partial u_m}(t, \overline{v}(t)) z_m(t) + o(|z|)
	\]
	Обозначим 
	\begin{equation}
		\label{eq_1_22_3}
		\frac{\partial \overline{z}}{\partial t} = J(t, \overline{v}(t))\overline{z}
	\end{equation}
	По определению, 
	\[
		J(t, \overline{v}(t))\overline{z} = ( \frac{\partial f_i(t, \overline{v}(t))}{\partial u_j} )_{ij}, i, j = \overline{1, n}.
	\]
	Теперь введем число жесткости s как отношение: \(s = \frac{max Re \lambda_k^J}{min Re \lambda_k^J} \).
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Система \eqref{eq_1_22_2} называется жесткой, если:
		\begin{enumerate}
			\item \(Re \lambda_k^J < 0 \),
			\item \( s(t) >> 1 \).
		\end{enumerate}
	\end{myUnnumberedDefinition}
	\section{Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрирование жестких схем ДУ}
	Рассмотрим линейную задачу:
	\begin{equation}
		\label{eq_1_22_4}
		\frac{d \overline{u}}{dt} = \Lambda \overline{u}, \quad t > 0
	\end{equation}
	\[
		\overline{u}(0) = \overline{u}_0
	\]
	При этом \( \Lambda \) -- собственные значение матрицы первого приближения J системы \eqref{eq_1_22_3}.
	
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Областью устойчивости разностного метода для задачи \eqref{eq_1_22_2} называется множество всех
		точек комплексно плокости \( \mu = \tau \Lambda \in \mathbf{C} \), для которых метод устойчив.
	\end{myUnnumberedDefinition}
	Пример:
	\subsection{Явная схема Эйлера}
	\[
		\frac{y_{n+1} - y_n}{\tau} =\lambda y_n, \text{   }
		y_{n+1} = (1 + \mu) y_n
	\]
	Метод является устойчивым, если \( |q|< 1, q=1+\mu\). Тогда область устойчивости определяется неравенством:
	\[
		|1+\mu| \leq 1
	\]
	\[
		|1+\mu_0 + i\mu_1| \leq 1
	\]
	\[
		(1+\mu_0)^2 + \mu_1^2 \leq 1
	\]
	В данном случае область устойчивости представляет собой внутренность круга с центром в точке (0, -1) и радиусом 1 в 
	координатах \(\mu_0, \mu_1\).
	\subsection{Неявная схема Эйлера}
	\[
		\frac{y_{n+1} - y_n}{\tau} = f(t_{n+1}, y_{n+1})
	\]
	\[
		\frac{y_{n+1} - y_n}{\tau} - \lambda y_{n+1} = 0
	\]
	\[
		y_{n+1}(1 + \tau \lambda) = y_n
	\]
	\[
		\text{Обозначим } q = \frac{1}{1-\tau \lambda}. \text{ Найдем область устойчивости: } |q| \leq 1
	\]
	\[
		| \frac{1}{1-\tau \lambda}| \leq 1
	\]
	\[
		| 1 - \mu| \geq 1
	\]
	\[
		(1 - \mu_0)^2 + \mu_1^2 \geq 1
	\]
	Областью устойчивости неявной схемы Эйлера является внешность круга радиуса 1 с центром в точке (1, 0).
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Разностный метод A-устойчив, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость.
	\end{myUnnumberedDefinition}
	\begin{myUnnumberedNote}
	Если разностный метод А-устойчив, то он абсолютно устойчив.
	\end{myUnnumberedNote}
	\begin{myUnnumberedStatement}
		Доказано, что абсолютно устойчивых многошаговых разностных методов не существует.
	\end{myUnnumberedStatement}
	\begin{myUnnumberedStatement}
		Доказано, что не существует абсолютно устойчивых многошаговых неявных разностных методов,
		точность которых выше 2 порядка.
	\end{myUnnumberedStatement}
	Рассмотрим пример разностного метода, имеющего второй порядок точности, который является А-устойчивым.
	\subsection{Симметричная схема}
	\[
		\frac{y_{n+1}-y_n}{\tau} = 0.5(f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1}))
	\]
	Проверим, будет ли данная схема абсолютно устойчивой:
	\[
		\frac{y_{n+1}-y_n}{\tau} = 0.5 \lambda (y_n + y_{n+1})
	\]
	\[
		(y_{n+1}-y_n) - 0.5 \mu(y_n + y_{n+1}) = 0
	\]
	\[
		(1 - 0.5\mu)y_{n+1} = (1 + 0.5\mu)y_n
	\]
	\[
		y_{n+1} = qy_n, q = \frac{(1 + 0.5\mu)}{(1 - 0.5\mu)}
	\]
	Устойчивость 
	\[
		|q| \leq 1
	\]
	\[
		|1 + 0.5\mu| \leq |1 - 0.5\mu|
	\]
	\[
		(1 + 0.5\mu_0)^2 + \mu_1^2 \leq (1 - 0.5\mu_0)+ \mu_1^2
	\]
	\[
		1 + \mu_0 + 0.25\mu_0^2 \leq 1 - \mu_0 + 0.25\mu_0^2 
	\]
	А это возиожно только в том случае, если \(\mu_0 \leq 0 \).
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Разностный метод называется \( A( \alpha ) \)-устойчивым (\( \alpha > 0 \)), если область устойчивости
		этого метода содержит угол в левой полуплоскости (\(\mu_0 \leq 0\)).
	\end{myUnnumberedDefinition}
	\begin{myUnnumberedNote}
		Явных А\( ( \alpha ) \)-устойчивых методов не существует. Были найдены 
		\( A(\alpha) \)-устойчивые методы 3го и 4го порядка.
	\end{myUnnumberedNote}
	Рассмотрим пример разностной схемы 4го порядка, которая является \(A(\alpha)\)-устойчивоя для некоторого \( \alpha > 0 \):
	\[
		\frac{25y_{n+4} - 48 y_{n+3} + 36y_{n+2} - 16 y_{n+1} + 3y_n}{12\tau} = f(t_{n+4}, y_{n+4})
	\]