
	\myAddDate{16}{02}{09}
	Из уравнения \eqref{eq_1_4_3} имеем:
	\[d_{11}=sign(a_{11})\]
	\[s_{11}=\sqrt{|a_{11}|}\]
	Из уравнения \eqref{eq_1_4_4}:
	\[s_{12}=\frac{a_{12}}{s_{11} d_{11}}\]
	Из уравнения \eqref{eq_1_4_5}:
	\[d_{22}=sign(a_{22} - d_{11}s_{12}^2)\]
	\[s_{22}=\sqrt{|a_{22} - d_{11}s_{12}^2|}\]
	Таким образом, все элементы матриц \(S\) и \(D\) однозначно определены.

	Рассмотрим теперь невырожденную эрмитову (или симметрическую) матрицу \(A\) с \(m\) строками и \(m\) столбцами и найдем для нее разложение в виде \eqref{eq_1_4_2}. Из того, что \(D\) является диагональной матрицей, получаем:
	 \[(DS)_{ij} = \sum_{l=1}^{m} d_{il}s_{lj} = d_{ii}s_{ij}, \quad s_{ii} > 0\]
	Далее запишем выражение для \(a_{ij}\):
	\begin{equation}
		\label{eq_1_4_6}
		a_{ij} = (S^*DS)_{ij} = \sum_{l=1}^{m} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{lj}, \quad i \leq j
	\end{equation}
	Выделим из суммы \(i\)-ый элемент:
	\begin{equation}
		\label{eq_1_4_7}
		a_{ij} = (S^*DS)_{ij} = \sum_{l=1}^{i-1} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{lj} + \overline{s}_{ii}d_{ii}s_{ij} + \sum_{l=i+1}^{m} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{lj}
	\end{equation}
	При \(j = i\) будем иметь:
	\[a_{ii} = (S^*DS)_{ii} = \sum_{l=1}^{i-1} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{li} + \overline{s}_{ii}d_{ii}s_{ii} + \sum_{l=i+1}^{m} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{li}\]
	В силу вида матрицы \(S\) \(s_{li} = 0, \quad l > i\), поэтому последняя из сумм будет равна 0. Учитывая равенство \( \overline{s_{li}}s_{li} = |s_{li}|^2\), перепишем получившееся выражение в виде:
	\[s_{ii}^2 d_{ii} = a_{ii} - \sum_{l=1}^{i-1}|s_{li}|^2 d_{ll}\]
	Теперь можно записать формулы для элементов матриц \(S\) и \(D\):
	\[d_{ii} = sign(a_{ii} - \sum_{l=1}^{i-1}|s_{li}|^2 d_{ll})\]
	\[s_{ii} = \sqrt{|a_{ii} - \sum_{l=1}^{i-1}|s_{li}|^2 d_{ll}|}\]
	Из \eqref{eq_1_4_7} получим:
	\[s_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{l=1}^{i-1} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{lj} - \sum_{l=i+1}^{m} \overline{s}_{li}d_{ll}s_{lj}}{\overline{s_{ii}}d_{ii}}\]
	По данным формулам однозначно находятся все элементы матриц \(S\) и \(D\).

	Рассмотрим применение данного разложения к решению систем линейных алгебраических уравнений:
	\[Ax=f\]
	\[S^*DSx=f\]
	Обозначим \(Sx = y\), получим две системы линейных алгебраических уравнений:
	\[\left\{ 
	\begin{array}{l l}
  		S^*Dy=f,\\
  		Sx=y;\\
	\end{array} \right. \]
	Для решения этих двух систем потребуется порядка \(\frac{m^3}{6}\) умножений и делений, а также \(m\) извлечений квадратного корня.
\section{Примеры и канонический вид итерационных методов решения СЛАУ}
	Рассмотрим СЛАУ:
	\begin{equation}
		\label{eq_1_5_1}
			Ax=f,
	\end{equation}
	где \(A\) --- матрица размера \( (m\times m) \), 
	\( |A| \neq 0, \)
	\[ x=(x_1, \dots , x_m)^T, \]
	\[ f=(f_1, \dots , f_m)^T. \]
	Из невырожденности матрицы \(A\) следует, что решение системы \eqref{eq_1_5_1} существует и единственно. Перепишем систему \eqref{eq_1_5_1} в виде:
	\[\sum_{j=1}^{m}a_{ij}x_{j}=f_{i}, \quad i = 1, \dots, m\]
	Выделим из суммы \(i\)-ое слагаемое:
	\[\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j} + a_{ii}x_{i} + \sum_{j=i+1}^{m}a_{ij}x_{j} =f_{i}, \quad i = 1, \dots, m\]
	Пусть \(a_{ii} \neq 0\), тогда можно выразить \(x_{i}\):
	\begin{equation}
		\label{eq_1_5_2}
			x_{i} = \frac{f_{i} - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j} - \sum_{j=i+1}^{m}a_{ij}x_{j}}{a_{ii}}
	\end{equation}
	Обозначим через \(x_{i}^{n}\) \(i\)-ую компоненту \(n\)-ой итерации. Запишем метод Якоби (МЯ):
	\[x_{i}^{n+1} = \frac{f_{i}}{a_{ii}} - \sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_{ij}}{a_{ii}}x_{j}^{n} - \sum_{j=i+1}^{m}\frac{a_{ij}}{a_{ii}}x_{j}^{n}, \quad n = 0, 1, \dots; i = 1, \dots, m\]
	Задан вектор \(x^0\) - начальное приближение. Запишем метод Зейделя (МЗ):
	\[x_{i}^{n+1} = \frac{f_{i}}{a_{ii}} - \sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_{ij}}{a_{ii}}x_{j}^{n+1} - \sum_{j=i+1}^{m}\frac{a_{ij}}{a_{ii}}x_{j}^{n}, \quad n = 0, 1, \dots; i = 1, \dots, m;\]
	Вектор \(x^0\) также изначально задан.

	Представим матрицу \(A\) в виде:
	\begin{equation}
		\label{eq_1_5_3}
		A=R_{1} + D + R_{2},
	\end{equation}
	где 
	\[ R_{1}=
 		\begin{pmatrix}
			0 & 0 & \cdots & 0 \\
			a_{21} & 0 & \cdots & 0 \\
			\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
			a_{m1} & a_{m2} & \cdots & 0
		\end{pmatrix} \] --- нижнетреугольная матрица с нулями на главной диагонали, 
	\[ D=
 		\begin{pmatrix}
			a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
			0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
			\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
			0 & 0 & \cdots & a_{mm}
		\end{pmatrix} \] --- диагональная матрица,
	\[ R_{2}=
 		\begin{pmatrix}
			0 & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
			0 & 0 & \cdots & a_{2m} \\
			\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
			0 & 0 & \cdots & 0
		\end{pmatrix} \] --- верхнетреугольная матрица с нулями на главной диагонали. Очевидно, такое разложение всегда осуществимо. Подставим предстваление \eqref{eq_1_5_3} в \eqref{eq_1_5_1}:
	\[(R_{1} + D + R_{2})x = f\]
	\[Dx = f - R_{1}x - R_{2}x\]
	Предположим теперь, что \( \exists D^{-1} \). Тогда:
	\[x = D^{-1}f - D^{-1}R_{1}x - D^{-1}R_{2}x\]
	Метод Якоби можно записать следующим образом:
	\[x^{n+1} = D^{-1}f - D^{-1}(R_{1} + R_{2})x^n\]
	или
	\[D(x^{n+1} - x^{n}) + Ax^{n} = f\]
	Метод Зейделя:
	\[x^{n+1} = D^{-1}f - D^{-1}R_{1}x^{n+1} - D^{-1}R_{2}x^{n}\]
	или
	\[(D + R_{1})(x^{n+1} - x^{n}) + Ax^{n} = f\]
	Из приведенных записей видно, что итерационные методы можно записать в различном виде. Поэтому целесообразно иметь единую форму записи итерационного метода.
	\begin{myUnnumberedDefinition}
		Канонической формой записи двухслойного итерационного метода решения СЛАУ \eqref{eq_1_5_1} называется его запись в виде:
		\begin{equation}
			\label{eq_1_5_4}
			B_{n+1}\frac{x^{n+1} - x^{n}}{\tau_{n+1}} + Ax^{n} = f, \quad n = 0, 1, \dots; x^{0}\text{ --- задан}
		\end{equation}
		\(\tau_{n+1} > 0\) - итерационный параметр,\\
		\(B_{n+1}\) - обратимая матрица.
	\end{myUnnumberedDefinition}
	Если \(B_{n+1} = E\), то метод \eqref{eq_1_5_4} называется явным. Если \(B_{n+1} = B\), \(\tau_{n+1} = \tau\), то метод \eqref{eq_1_5_4} называется стационарным.

	Метод простой итерации (ПИ, или метод релаксации) имеет следующий вид:
	\[\frac{x^{n+1} - x^{n}}{\tau} + Ax^{n} = f, \quad \tau > 0\]
	Рассмотрим более подробно попеременно-треугольный итерационный метод (ПТИМ):
	\begin{equation}
		\label{eq_1_5_5}
		(E + \omega R_{1})(E + \omega R_{2})\frac{x^{n+1} - x^{n}}{\tau_{n+1}} + Ax^{n} = f, \quad n = 0, 1, \dots; x^{0}\text{ --- задан}
	\end{equation}
	Здесь \(\tau_{n+1} > 0\), \(\omega > 0\) --- итерационные параметры, \(R_{1} + R_{2} = A\), где
	\[ R_{1}=
 		\begin{pmatrix}
			\frac{a_{11}}{2} & 0 & \cdots & 0 \\
			a_{21} & \frac{a_{22}}{2} & \cdots & 0 \\
			\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
			a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \frac{a_{mm}}{2}
		\end{pmatrix}, \]
	\[ R_{2}=
 		\begin{pmatrix}
			\frac{a_{11}}{2} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
			0 & \frac{a_{22}}{2} & \cdots & a_{2m} \\
			\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
			0 & 0 & \cdots & \frac{a_{mm}}{2}
		\end{pmatrix}. \]
	Реализация попеременно-треугольного итерационного метода может быть осуществлена по явным формулам. Пусть:
	\[v^{n+1} = \frac{x^{n+1} - x^{n}}{\tau_{n+1}}\]
	\[w^{n+1} = (E + \omega R_{2})v^{n+1}\]
	\[r^{n} = f - Ax^{n}\]
Тогда:
	\[(E + \omega R_{1})w^{n+1} = r^{n}\text{, где } (E + \omega R_{1}) \text{--- нижнетреугольная матрица,}\]
	Из этого уравнения, путем обращения нижнетреугольной матрицы по явным формулам выписывается вектор \( \omega^{n+1} \).
	\[(E + \omega R_{2})v^{n+1} = w^{n+1}\text{, где } (E + \omega R_{2}) \text{--- верхнетреугольная матрица,}\]
	По известному вектору \( \omega^{n+1} \), обращая верхнетреугольную матрицу по явным формулам можно найти вектор \( v^{n+1} \), и далее:
	\[x^{n+1} = x^{n} + \tau_{n+1}v^{n+1}.\]
	Таким образом, несмотря на то, что ПТИМ - неявный итерационный метод, его реализация проста и сводится к попеременному обращению нежнетреугольной и верхнетреугольной матриц(отсюда - название метода).